高斯最重要的学术贡献

高斯被后世誉为“数学王子”。 这种褒奖恰到好处，他是数学史上转折点的杰出代表，起到承前启后的作用。 18世纪的数学正处于分析学蓬勃发展的时代，微积分的创立推动了数学的发展。 其代表往往忽视推理的严密性，得出大量与天文学、力学等自然科学有关的分析结果。 在数论、代数和综合几何方面只有零散的成果。 高斯强调，数学作为一门严谨的科学，必须追求明确的定义、明确的假设、严密的证明和结果的系统化，倡导一种延续了近200年的现代数学传统。

《算术研究》是高斯最具代表性的著作。 全书分为七个部分。 第 1 节：一般一致性。 定义有理整数模自然数同余的概念； 证明同余的基本性质（包括除法算法）。 第二部分：全等。 证明整数分解为素数的唯一性； 定义最大公因数和最小公倍数； 导入全等符号。 第三部分：剩余电量。 研究给定数的幂模（奇）素数的余数的基础是费马小定理。 以上三节是高斯首次系统地表述初等数论知识，供读者阅读全书主体部分。 第四节：二次余数。 这个在数信纸上被称为“酵母”的定理，最早是由欧拉提出的，勒让德作了复杂的讨论，但他们都没有给出正确的证明。 在证明中，高斯首先证明了该定律对某些素数成立，然后通过对素数的完全归纳法证明了这一点。 高斯一生给出了二次互反律的六种不同证明。 高斯在 1817 年评论他的一个证明时说：“高等算术的特点是通过归纳法愉快地发现许多最美丽的定理，但证明它们。分析和幸运发现的某种结合，不同的奇妙结合 这个数学分支的理论。” 他认为，寻找定理的新证明“并不是多余的奢侈。有时候，你不会从最美丽和最简单的开始。正是这种证明，才能深入到高等算术真理的奇妙联系。这 是吸引我们学习的主要动力，常常使我们能够发现新的真理。” 这反映了高斯对纯数学的理解。研究视角。Section V: Secondary Type。本节主体部分的基础来自拉格朗日。Gauss抽象了类型的基本性质、类型变换和等价概念 从他的工作中，系统化和发展了类型理论。例如，对于给定的判别式，类型的每个类都可以选择一个类型作为其代表，高斯给出了选择最简单代表的准则；他证明了有关的重要定理 第六节：应用.介绍了上一节介绍的概念的重要应用，主要涉及部分分数、循环小数、求解同余 等式，以及区分合数和素数的标准等。第七节：划分圆的问题。 这是高斯继1896年宣布完成七边形的构造后，首次公开七边形的理论基础。