对于一般的一次方程和二次方程，中西古代数学家早已熟知其求解方法，而对于更高阶的一般方程，则长期以来一直是世界性的数学难题。 当时颇具影响力的意大利数学家帕乔利甚至认为，三次方程的解就像圆的平方问题一样无解。 但没过多久，他的论断就被同胞推翻了，三次方程和​​四次方程都是可解的！ 纵观整个16世纪的数学发展，可以说三次方程和​​四元方程的完全解是最伟大的成就，而这要归功于几位意大利数学家。

自中世纪以来，意大利数学家就热衷于代数。 13世纪西方最杰出的数学家斐波那契就是代表之一，“斐波那契数列”的影响一直延续至今。 随着15世纪拜占庭帝国的解体，大量难民涌入意大利，伴随着难民而来的还有许多代表古希腊文化的原创作品。 这让意大利数学家接触到了很多他们以前不太了解的知识。 这些也促进了意大利半岛文艺复兴的萌芽。

有记载的第一位在这一领域取得重大进展的数学家是 Ferro，他在 1515 年左右得出了一般方程 x³+mx=n 的解。据传他的工作是基于阿拉伯的早期资料，但 确切来源尚未核实。 不过费罗并没有将这个成果公布，而是传授给了自己的学生菲奥，并让他不要公开。 在他们看来，如此重要的成就，是无可比拟的财富，不能轻易外泄。

在三次方程的求解上，继费罗之后做出重大贡献的是塔尔塔利亚。 传闻他曾向费奥请教解三次方程的问题，但遭到严厉拒绝，气得不服气的塔尔塔利亚决心亲自研究这个问题。 塔尔塔利亚年轻时非常贫穷，但这一切都没有阻碍他坚强的好学精神。 凭借过人的天赋，他通过自学掌握了拉丁语、希腊语和丰富的数学知识。 在被菲奥无情拒绝后，他开始孜孜不倦地研究三次方程的解法。 终于在1535年，塔尔塔利亚向公众宣布他已经掌握了某些类型的三次方程的解，但他也效仿了费奥的做法，将他的结果保密，拒绝向公众透露细节。

在听到塔尔塔利亚声称自己得到了三次方程的解之后，费奥感到非常震惊，甚至勃然大怒，认为塔尔塔利亚在欺骗大众。 委屈的主角这次换成了菲奥本人，他向塔尔塔利亚发起公开立方体竞赛。 自信的塔尔塔利亚欣然接受了挑战。 在他看来，这是一个极好的扬名立万的机会。 本次比赛给出了两种类型的三次方程。 菲奥只会解老师费罗教的那个，对另一个三次方程一窍不通。 然而，塔尔塔利亚凭借自己的解决方案取得了巨大的成就。 赢。 这次比赛确实让塔尔塔利亚名声大噪，并为他赢得了大学数学教授的职位。

虽然塔尔塔利亚的竞技精神得到了极大的满足，但他并没有像费罗和菲奥那样止步于眼前的成绩。 而是乘胜追击，继续研究更一般的三次方程解法。 1541年前后，他通过研究得到了两类三次方程x³±px²=±q和x³±px=±q的解。 和之前一样，他依旧没有透露自己成果的具体过程。

历史上第一位完整发表一般三次方程解法的数学家是卡尔达诺。 他在1545年出版的代数巨著《大法》中详细描述了三次方程的解法，但这个解法却引发了一场官司。 卡尔达诺原本是米兰的一名医生，但他痴迷并精通数学。 卡尔达诺对三次方程的求解也很感兴趣，但多年的思考并没有什么结果。 于是他找到了塔尔塔利亚，而塔尔塔利亚可能想起了之前和Feo的糟糕经历，所以卡尔达诺在发誓不透露之后，就把一般三次方程的解法给了卡尔达诺教授。 激动过度的卡尔达诺违背誓言，在《大法》一书中公开了塔尔塔利亚解法的所有细节，用今天的语言描述：

之后，公式为 求三次方程的根成为“卡尔达诺公式”。 至此，三次方程的解已经在当时人们的认知（实数）范围内得到了彻底的求解。

得知此事后，气愤的塔尔塔利亚将卡尔达诺告上法庭，但心存愧疚的卡尔达诺不敢亲自出庭 ，所以他称他的口才学生法拉利与塔尔塔利亚告上法庭。 塔尔塔利亚还没开口，口若悬河的法拉利就指责塔尔塔利亚抄袭了菲奥的作品。 本就口吃的塔尔塔利亚一气之下更无力辩解，最终官司败诉。

关于塔尔塔利亚和卡尔达诺分别有一个“有趣的事实”，当然这可能是题外话。 塔尔塔利亚的真名并不是塔尔塔利亚，而是因为他结巴而被取了这个名字。 准确的说，应该是昵称。 Tartaglia在意大利语中是口吃者的意思。 除了是数学方面的专家，卡尔达诺还是另外一个方面的专家，那就是“死亡”。 传闻他曾与人打赌，自己会在未来的某个时刻死去，但旁人并不相信他的鬼话，所以他索性就在那一天、那一刻以自杀结束了自己的生命。

至于卡尔达诺违背誓言，其实背后还有更多的细节。 首先，卡尔达诺在书中明确说明方法是塔尔塔利亚的，然后他将塔尔塔利亚的解推广到一般的三次方程，最后他又加上了三次方程解的几何解释。 从这一点来看，卡尔达诺并不完全“十恶不赦”。 对于当事人来说，这种背信弃义的行为肯定是令人厌恶的，但对数学的发展却大有裨益。

在塔尔塔利亚给出三次方程的解后不久，意大利数学家达科伊向卡尔达诺提出了一个本质上是二次方程的问题，即把10分成三个数，使它们成正比， 并且前两个数的乘积是6。卡尔达诺本人并没有解决这个问题，最终由他的学生法拉利给出了解决方案，他实际上已经得到了一般四次方程的解。 大致过程如下：

四次方程的解最终转化为三次方程的解。

其实三次方程的求根公式还有最后一个无解的问题，就是如何理解q²/4 p³/27<0的情况。 终于，在卡尔达诺去世四年后，另一位意大利数学家邦贝利提出了虚数的概念，并成功地解释了这一现象。 事实上，卡尔达诺自己已经意识到复根是成对出现的，这一点后来被牛顿证明了。 此外，卡尔达诺还发现了三次方程的求根关系，后来被法国数学家吠陀推广和总结。 在意大利取得了辉煌的数学成就后，代数的中心逐渐转移到法国。 后来韦达对古典代数的发展做出了重要贡献，特别是他提出的代数符号系统，极大地促进了代数的描述和整合。 发展。 当然，这些都是后话。

三次方程求解的直接历史持续了将近半个世纪，而在此之前，有无数的先驱者试图去思考。 现在看来，解三次方程和​​四次方程是很普通的数学知识，但对于当时数学的发展，其意义不亚于现在证明的庞加莱猜想和费马大定理。 现在我们不用直接求复解，就可以用导数轻松判断三四方程解的分布。 数学的发展确实大大提高了以前的认识，但它过去的辉煌和精神也值得我们去回顾和学习。