函数公式网 数学函数 高等数学总结(一):函数的概念

高等数学总结(一):函数的概念

1。 函数定义

假设x和y是两个变量,x的变化范围是实数集D。如果对于任意的x∈D,按照一定的规律,有一个唯一确定的y值与之对应,则 变量 y 被称为变量 x 的函数,记为 y=f(x),D 称为函数的定义域。 x 是自变量,y 是因变量。

对于某个x₀∈D,对应的y₀=f(x₀)称为函数y在x₀点的函数值,整个函数值的几何称为函数y的值域,记为 作为f(D),即

f(D)={y|y=f(x),x∈D}

函数的两个元素:定义域对应规律

“两个函数相等”就是说两个函数的定义域相同,对应的规则也相同。

2. 函数的几个特点

(1)有界性:|f(x)| ≤ M

(2) 单调性:

单调递增:若x₁, x₂∈I, x₁<x₂, f(x₁)<f(x₂)

单调递减:如果x₁,x₂∈I,x₁f(x₂)

(3) 奇偶校验:

偶函数:对于任意 x在定义域中,有f(-x )=f(x)

奇函数:对于定义域中的任意x,f(-x)=-f(x)

其中,对于两个在定义域中有定义的函数:

①两个偶函数之和,其积为偶函数

②之和 两个奇函数的乘积是奇函数,乘积是偶函数

③奇函数和偶函数的乘积是奇函数

(4)周期性:有 一定是f(x T)=f(x)

例如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cot x都是周期函数

3 . 变上下限积分表示的函数

4. 两个无穷小的比较

5. 常见的等效无穷小数

6. 场

我们经常使用一个特殊的开区间(α-δ ,α δ),我们称这个开区间为点的邻域,记为U(α,δ),即U(α ,δ) = (α-δ,α δ) ,我们称点α为邻域的中心,δ为邻域的半径。

有时,我们只考虑与点α相邻的点,而不考虑点α,即考虑点集{x|α-δ<x<α和α<x<αδ },我们称这个点集为点α的“分散邻域”,记为U°(α,δ),即

U°={x|α-δ<x <α 和 α<x< α δ}

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