1. 本章的学习需要利用好初中所学的函数知识和研究函数积累的经验，进一步提升函数概念的抽象层次，理解重新定义函数概念的必要性，掌握方法 的抽象符号表示法。

本章的学习不仅要注意反映数学本质的一般思想，还要注意函数本质的特殊性——变化中的规律性和不变性。

其次，本章需要掌握的内容：

8个重要概念：函数、区间、增函数、减函数、最大值、最小值、奇函数、偶函数

3种表示方法：解析法、列表法、图像法

2个重要性质：单调性、奇偶性

1函数：幂函数

1应用：函数的应用

3. 本章思维方法总结

1、数形结合的思路

在画函数的图像时，利用函数的性质会更容易 函数，比如使用Parity函数，只需要先画出y轴右边的图像，然后就可以利用它的对称性，画出y轴左边的图像（用数字来表示） 帮助塑造）。 函数的图像可以通过函数的性质来研究，反过来，函数的性质也可以通过函数的图像来研究。

2. 函数和方程的思想

函数的思想具体体现在以下几个方面：

（1）利用定义域、取值范围、单调性、奇偶性， 对称性、图像等解决数学问题； (2) 用函数的观点观察和分析问题中的数量关系，将这种数量关系以函数的形式表达和研究，从而解决问题；

(3) 讨论 带有参数的问题可以通过函数和方程的思想综合求解；

（4）在问题研究中，通过构造函数或方程，将所有研究问题转化为函数或方程问题， 并利用函数属性达到化难为易、化繁为简的目的。

3. 缩减变换的思路

需要缩减函数的定义域来解决不等式（群）问题，判断函数的单调性可以缩减为比较f(x1 )，f(x2)的大小，判断函数的奇偶性可以归结为判断f(-x)与f(x)的关系等。 归化和转化的思想在本章中无处不在。

4. 分类整合的思想

分类整合的思想应用非常广泛。 例如，求解参数在一定区间内的二次函数的最大值时，一般需要讨论抛物线的对称轴。 分段函数问题分段的本质是对每个分段进行分类讨论。 绝对值函数可以分类讨论转化为分段函数求解等。

四、专题总结

1、几个常用函数及其应用

a、分段函数：分段函数要注意以下问题处理方法：

（1）画一个分段函数，求分段函数的单调区间，求取值范围或 分段函数的最大值，求分段函数的解析公式等，这些问题的解法可以概括为四个字进行分段处理；

（2）分段的评价 函数和分段函数的奇偶性判断必须严格按照分段函数和奇偶性的意义

(3)涉及分段函数的综合题要灵活把握，注意结合 具有相关知识；

(4) 具有 绝对值，本质上是一个“压缩”的分段函数，解决具有绝对值的函数问题的基本方法是将其“解压”成分段函数进行处理。

b, “双曲”函数

形如y =(ax b)/(cx d)(c0,a0)的函数可以通过分离常数转化为y= m t/(x n)(t≠0)的形式，所以它的图像可以通过反比例函数y=t/x(t≠0)的图像平移得到，其形状与 反比例函数y=t/x(t≠0)形状相同，都是双曲线。 因此，它通常被称为“双曲”函数。 其对称中心为(-n,m)，定义域为{x|x≠-n}，取值范围为{yly≠m}。

当t>0时，函数在(-,-n)和(-n, )上单调递减； 当 t<0 时，函数在 (-,-n) 上且 (- n, ) 单调递增。

c, “tick”函数

我们经常看到f(x)= ax b/x(a>0,b>0)形式的函数，我们来考察一下 它的单调性、奇偶性和图像的形状。

(1) 不难看出它的奇偶性，因为函数的定义域是(-,0)U(0, )，有f(-x)二轴 b/(-x )=-f(x)，所以f(x)是奇函数。

(2) 函数f ( x ) 在(-root sign b/a,0) 和(0, under root sign b/a) 下单调递减； (-,-root sign b/a)下和(b/a root sign, 0)单调递增。

（3）如图所示。 这个函数的形象就像两个对勾，所以我们称它为“对勾”函数。 利用这个函数，我们可以解决一些函数的单调性、最大值和取值范围等问题。

2. 函数性质的综合应用

函数的单调性是函数的一个重要性质。 对于一些数学问题，可以通过函数的单调性变换函数值之间的关系来研究自变量之间的关系，从而达到化简的目的，特别是在大小的比较、不等式的证明、求值范围等方面 、最值、研究方程根等应用广泛。 奇偶性是函数的另一个重要性质，利用奇偶函数的对称性可以缩小研究范围，避免复杂的解法讨论。

与函数奇偶性和单调性相关的综合问题主要包括比较大小和求解不等式。 关键是利用奇偶函数的对称性，将两个不在同一个单调的自变量的值转换为同一个单调区间，然后利用函数的单调性来处理，所以 问题可以解决。