函数公式网 数学函数 高等数学(1)——函数的定义、有界性和单调性

高等数学(1)——函数的定义、有界性和单调性

对于函数的概念,我们每个人都可以在书上找到。所以在本文中重复一遍概念没有任何意义,我们需要了解的是如何更为简单通俗的理解函数的本质。

函数的关键无非在于一个一一映射的关系,所谓一一映射就是对应关系。说的直白一点,就是给你一个自变量就会有唯一的因变量与之对应。

这里有许多点需要注意。首先上面我说的都是自变量和因变量,并没有提到x和y。

因为没有人规定必须x是自变量,y必须是因变量。只要它们两个满足上面的一一对应关系,y是自变量,x是因变量也完全是正确的。我们有很多人会陷入到一个固定的思维当中,把遇到的每一个函数中的x都当成是自变量。这样肯定是会出现比较严重的问题的,没有出现问题只是因为碰巧而已。

其次,我们需要注意的是函数必须满足对应关系。换句话说,任意一个处于定义域内的自变量,都必须是有因变量与之对应的。当然这个大家其实都可以注意到,所以这个不是问题的重点。

接下来第3点需要注意的才是问题的重点。我们许多人往往会忽视的就是“唯一”这两个字。如果现在有一个自变量,居然会有两个因变量通过公式产生,那么请问这样一个对应关系是函数关系吗?

答案当然是否定的,虽然必须要有因变量与之对应,但是只能有一个。有的时候我们会碰到这样的情况,前提已经是函数关系了,但是一个x就是对应于两个y,这个应该怎么样进行解答呢?

其实之所以会出现这样的问题,还是因为对于函数的概念理解不清晰。 很明显在这种问题中x才是因变量,y是自变量。所以只要转换一个思路,不局限于固定的思维当中,问题也就迎刃而解了。

不仅仅是上面提到的情况,在许多问题中其实都可以进行这样一个尝试。把自变量与因变量的对应符号一换,可能瞬间就可以把整道题目降低难度。

在理解了上述的定义以后,实际上对函数本质的理解就差不多了。接下来无非就是一些概念问题。

比如自变量,因变量,定义域,值域,有界性,单调性,奇偶性和周期性等。对这些概念的具体内容没有必要详细阐述,大家都可以在书上找到。

但是这里需要注意的是函数有界,等价于函数既有上界又有下界。如果函数仅仅只有上界,那么是不可以说这个函数是一个有界函数的。

其次,函数有界性中的界是一个非常模糊的概念。比如有现在有一个函数y=sinx,我们既可以说它的界为1,因为它的绝对值小于等于1。前者当然是完全正确的,但是如果我说它的界是2呢,也没有错误。所以我们需要把函数的有界性,和它的最大值最小值概念区分出来。

接下来可以举一个例子,更好得区分最大值最小值和有界性。假如现在有一个有界函数,请问它是否存在最大值和最小值?

答案是否定的,或者说不一定。比如现在有这样一个函数y=x,但是定义域为(0,1),这是一个开区间很明显这是一个有界函数,但是它没有最大值最小值,因为取不到它的最大值最小值。

大家已经发现了函数的有界性,是和区间联系在一起的。所以通过区间的变化可以玩出很多花样。当然一个函数有最大值最小值,则一定是有界的,这个请注意一下。

其次,我们需要注意的是函数的单调性。单调性是一个局部的性质,换句话说,这个函数可以先往上跑,再往下跑,再往上跑,再往下跑……跑出一个折线的形状,把你弄晕。所以我们在判断函数单调性的时候,往往要分区间进行判断。有很多人直接就在一整个区间上,对它的单调性进行判断,这个肯定是搞不出来的。

当然对其单调性进行判断的时候也是有技巧的,这边建议先取几个点,把函数大致的结构画出来。

其次单调性是非常严格的,请关注单调性的定义,你会发现它没有等于号。如果说当x1<x2时,f(x1)≤f(x2),这个时候只能说它是单调不减,不能说它是单调递增的。

除此以外,函数的奇偶性和周期性也有许多需要注意的点。特别是在学习了极限和导数的概念以后,可以玩的花样就更多了。本文暂时先介绍到这里。

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