1、令z=ⅹⅰy，f(z)=uⅰv

(z→zₒ)f′(z)=lim(f(z)-f(zₒ))/( z-zₒ)

=lim(△uⅰ△v)/(△ⅹⅰ△y)

设z从ⅹ实轴和ⅹ虚轴到zₒ，

①ⅹ趋势，△y=0→

f'(z)=(∂u/∂ⅹ)ⅰ(∂v/∂ⅹ)

②y趋势，△ⅹ=0→

f′(z)=(∂u/(∰∂y)) (∂v/∂y)

f’ (z)=f'(z)→

∂u/∂ⅹ=∂v/∂y

-(∂v/∂ⅹ)=∂u/∂y

2、y=∮f(z)dz=∮(u ⅹv)d(ⅹ ⅹ y)=

∮(udⅹ ⅹ ⅹ ivdⅹ-vdy)=

∮(udⅹ-vdy) ∮(udy vdⅹ)

根据格林公式

∮(Pdⅹ Qdy)=

∫∫((∂Q / ∂ⅹ)-(∂P/∂y))dⅹdy

→y=

∫∫((-∂v/∂ⅹ)-(∂u/∂y) )dⅹdy

∫∫∫((∂u/∂ⅹ)-(∂v/∂y))dⅹdy

∂u/∂ⅹ=∂v/∂y①

-(∂v/∂ⅹ)=∂u/∂y②

→y=0=∮f(z)dz

3, f(zₒ) = (1/2πₒ)∫(f(z)/(z-zₒ))dz