微分几何的主要研究对象是三维空间中的光滑曲线和光滑曲面，现代名称是一维和二维微分流形。 为了描述曲线和曲面的几何和曲率，数学家引入了曲率的概念。 微分几何课程的主要内容包括：三维空间曲线理论、三维空间曲面的局部几何性质、三维空间曲面的全局几何性质。 历史上，数学家首先用二阶导数求出平面曲线的曲率，然后在18世纪，欧拉用平面与曲面的交点来定义曲面的法向曲率，他发现最大值 法曲率的最小值的两个方向相互垂直，推导出计算法线曲率的欧拉公式：

这里k1和k2是的两个极值 法曲率，k(φ)为φ角方向的法曲率。 接下来，19世纪初，高斯改进了欧拉对曲面法向曲率的定义，从而得到了他对高斯曲率的定义，并利用高斯曲率系统地研究了曲面的基本性质，证明了“高斯曲率是 只与表面的测量有关”，这是一个非常重要的内蕴几何命题，为黎曼创造他的黎曼几何奠定了坚实的基础。

在现在的大学微分几何教材中，计算曲率的欧拉公式一般都是用Weingarten变换来证明的，Weingarten变换是作用在切平面上的线性变换，也是一个对称变换，所以欧拉公式 可以用线性代数中关于欧氏空间对称变换的结论来证明。 这个证明虽然很简洁，但是它的几何意义不是很清楚，学生理解起来比较困难。

《数学》第二卷第七章专门讲解微分几何这门课的基本思想。 首先，作者详细解释了平面曲线曲率的概念，并推导出了曲率的计算公式，特别对曲率进行了直观的几何解释：曲率是曲线离开切线的速度。 然后作者在讨论光滑曲面的曲率时，按照欧拉法，将曲面与通过曲面法线的平面相交，从而得到一族法线剖面线。 这些法线截面是平面曲线，因此可以用它们的曲率来描述曲面的曲率。 接下来，作者用18世纪数学家所熟悉的简单直观的方法，对上述计算方法的曲率欧拉公式进行了证明。 本证明方法只用到平面直角坐标系的旋转公式和二元函数的泰勒。 展开公式，以及作者给出的平面曲线曲率的几何解释（见下图）：

图5：《数学》中法曲率欧拉公式简单直观的证明

这个简单而突出的证明让学生对光滑表面的局部结构有非常清晰的认识。