在实分析和复分析的数学研究中，经常会出现XX空间等词。 有的朋友可能会好奇，这里的空间和我们现实生活中的空间有关系吗？

别着急，先从简单的合集开始吧。

笛卡尔积的定义如下：两个集合A，B，定义A和B的笛卡尔积为{(a, b)|a∈A, b∈B}，记为A×B。 如果A和B是同一个集合，也可以简写为A^2。

例如，集合A是{1, 2, 3}，集合B是{1, 2}，那么A×B就是{(1, 1), (1, 2) , (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}是一对数，第一个数是A中的任意数，第二个数是B中的任意数 ，所有这些数对的集合是 A×B。

N维欧氏空间需要两样东西

2． 度量（以及引入它的欧几里得范数）是距离的定义。 这里不多说，只说欧式空间中的度量。 我们将A点(a1,a2,…an)和B点(b1,b2,…bn)之间的欧几里德度量(实际上是距离)定义为√(

a1-b1)^2 (a2-b2)^2 … (an-bn)^2。 范数是点到原点的距离。 细心的朋友可能已经注意到，平面笛卡尔坐标系是一个二维欧氏空间，因为它的每一个坐标都是实数。 同理，空间三维坐标系是一个三维欧式空间，而欧式度量就是两点之间的距离。

我们都知道这是三维坐标系，但是现在我们知道了他的新身份：三维欧氏空间

其他空间

欧洲 欧几里得空间的性质虽然很好，但是也太特殊了。 我们并不总是研究欧几里得空间。 接下来介绍最常见最一般的空间，线性空间（也叫向量空间，英文名vector space）。 他的定义如下：

令V为非空集，P为域。 如果：

1. 在V中定义了一个运算，称为加法，即V中任意两个元素α和β按照一定的规则β对应于V中唯一确定的一个元素α，称为α和β之和。

2. P和V的元素之间定义了一个运算，称为标量乘法（也称为定量乘法），即对于V中的任意一个元素α和P中的任意一个元素k，按一定的规律对应一个唯一确定的 V中的元素kα，称为k与α的乘积。

3. 加法和标量乘法满足以下条件：

1) α β=β α，对于任意α，β∈V。

2) α (β γ)=(α β ) γ, 对任意α, β, γ∈V。

3) 存在元素0∈V, 对所有α∈V存在α 0=α, 元素0称为零元素

4）对任意α∈V，存在β∈V使得αβ=0，β称为α的负元，记为-α。

5) 对于P中的单位元1，有1α=α(α∈V)。

6) 对于任意k，l∈P，α∈V，(kl)α= k( lα).

7) 对于任意 k, l∈P, α∈V, (k l)α=kα lα.

8) 对于任意 k∈P, α , β ∈V有k(α β)=kα kβ，

V称为域P上的线性空间，或向量空间。 V中的元素称为向量，V中的零元素称为零向量，P称为线性空间的基域。 当P为实域时，V称为实线性空间。 当P为复域时，V称为复线性空间。 顺便说一句，我在介绍欧几里得空间的时候，我提到的度量和范数并不是在所有的线性空间中都存在的。 如果存在度量，则称为度量有界空间； 如果存在范数，则称为范数线性空间。 空间。

看书吃力的朋友可以略过，在以后的学习中对各种空间会有直观的认识。

真正的变函数序言基本就到这里了。 这三课是为没有学过数学分析和高等代数预知的读者准备的。 下一节课，我们就要真正开始练习变函数学习了。 没关注的朋友可以关注我，以防以后找不到我[灵光一闪]