书上接上，无穷大的存在，我们很容易产生一个疑问无穷大都是一样大的吗，如果不一样，怎么比较呢？

首先，我们考虑所有整数的集合 Z，即 {…-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…} , 显然这个集合中有无限多的元素。 让我们考虑由所有有理数组成的几何Q，即{…-1/3, -1/2, -1/1, 1/1, 1/2 , 1 /3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4…显然这个集合中有无穷多个元素。

有朋友肯定会说，有理数集一定比整数集多，因为整数都是有理数，有理数不都是整数。 这也是一些民科的想法。 事实上，在数学中，两个集合具有相同数量的元素当且仅当它们之间存在一对一的映射。 可能有些朋友不明白什么是一对一映射，其实就是指一对一对应。

其实在上一段中，集合中有理数的枚举有一个很好的性质，就是它的排列是固定的。 比如你随便说一个项目，比如项目162418，我可以找到一个有理数对应的项目（虽然很难，因为162418太大了）

有的朋友可能会一头雾水，举个例子：我将-2对应-1/2，-1对应-1/1，0对应0，1对应1/1，2对应 到1/2，3对应1/3，4对应2/3，5对应1/4，6对应3/4。 这个对应的左边是整数，右边都是有理数。 这样，我们就找到了所有整数和所有有理数之间的一一对应关系。 因此，整数与有理数一样多，我们称所有元素与整数一样多的集合为可数集合。 其实这个概念很好理解，就是每个元素都可以“编号”，说出元素个数就能找到对应的元素，所以叫“可数”。 正整数集和有理数集当然是可数集，而无理数集和实数集不是可数集，称为不可数集（证明很容易想，而且它 写起来很复杂，这里就不细说了）

这里要用到我们上面说的实数集不是可数集（或者说实数集是不可数集） ). 我们知道可数集有一个很好的性质，就是它有一个“数”，也就是当我们找到一个可数集的一个元素时，就可以知道它的下一个或者上一个元素，而这个性质也只有 可数集合有它，否则具有该属性的集合可以通过该属性将其中的元素完全“编号”。 那么我们知道实数集的元素是没有前一个元素和后一个元素的，但是很遗憾，如果0.99…和1不是同一个数，那么0.99…一定是1的前一个元素 , 1 一定是 0.99… 的下一个元素，矛盾。 所以 0.99…=1 是肯定的。

真正的变量函数预计10-15讲。 没有关注的朋友可以点击关注，防止以后被发现我[灵光一闪]