费马小定理大家都很熟悉了。 它说如果 p 是素数，那么对于任何正整数 a，p 都可以除以 a^p-a。 1736年，欧拉对费马小定理给出了严格的证明。 1760年，欧拉对费马小定理进行了重要的推广。 他首先考虑了小于给定正整数n且与n互质的正整数个数。 高斯为此专门引入了一个符号Φ(n)，称为欧拉函数。

利用这个新函数，欧拉证明了如果a和n互质，则n整除a^Φ(n)-1。 注意，当n为质数p时，每一个小于p的正整数都与p互质，即Φ(n)=p-1，此时欧拉推出的定理就变成了对于每一个与p互质 ，都有p整除a^(p-1)-1，当然a^p-a也是整除的。 如果a和p不互质，即p整除a，显然p整除a^p-a。 其实这就是费马小定理。

令人惊讶的是，欧拉定理的证明非常简单，比起他的发现和提议要困难得多。 下面我们来看看他的证明过程。

首先假设a和n互质，在1,2,3,…,n和n互质数R1,R2,R3,…,Rk，则 欧拉函数Φ(n)=k。 然后欧拉考虑 k 个数 aR1、aR2、aR3、…、aRk 除以 n 的余数。 一方面，a和n互质，Ri也分别与n互质，所以它们的余数也与n互质。 另一方面，如果 aRi 和 aRj 除以 n 的余数相同，则 n 必须除以它们的差值，即 n 除以 Ri-Rj，这是不可能的。 因此，aR1,aR2,aR3,…,aRk除以n得到的余数不仅与n互质，而且成对不同。 因此，余数就是R1、R2、R3、……、Rk的某种排列。 于是n分以下产品的差值：

费马小定理大家都很熟悉了。 它说如果 p 是素数，那么对于任何正整数 a，p 都可以除以 a^p-a。 1736年，欧拉对费马小定理给出了严格的证明。 1760年，欧拉对费马小定理进行了重要的推广。 他首先考虑了小于给定正整数n且与n互质的正整数个数。 高斯为此专门引入了一个符号Φ(n)，称为欧拉函数。

利用这个新函数，欧拉证明了如果a和n互质，则n整除a^Φ(n)-1。 注意，当n为质数p时，每一个小于p的正整数都与p互质，即Φ(n)=p-1，此时欧拉推出的定理就变成了对于每一个与p互质 ，都有p整除a^(p-1)-1，当然a^p-a也是整除的。 如果a和p不互质，即p整除a，显然p整除a^p-a。 其实这就是费马小定理。

令人惊讶的是，欧拉定理的证明非常简单，比起他的发现和提议要困难得多。 下面我们来看看他的证明过程。

首先假设a和n互质，在1,2,3,…,n和n互质数R1,R2,R3,…,Rk，则 欧拉函数Φ(n)=k。 然后欧拉考虑 k 个数 aR1、aR2、aR3、…、aRk 除以 n 的余数。 一方面，a和n互质，Ri也分别与n互质，所以它们的余数也与n互质。 另一方面，如果 aRi 和 aRj 除以 n 的余数相同，则 n 必须除以它们的差值，即 n 除以 Ri-Rj，这是不可能的。 因此，aR1,aR2,aR3,…,aRk除以n得到的余数不仅与n互质，而且成对不同。 因此，余数就是R1、R2、R3、……、Rk的某种排列。 所以n除以下乘积的差：

因为R1R2R3…Rk也是n的素数，所以n除a^k-1。 至此，欧拉对费马小定理的推广得到证明。

费马小定理大家都很熟悉了。 它说如果 p 是素数，那么对于任何正整数 a，p 都可以除以 a^p-a。 1736年，欧拉对费马小定理给出了严格的证明。 1760年，欧拉对费马小定理进行了重要的推广。 他首先考虑了小于给定正整数n且与n互质的正整数个数。 高斯为此专门引入了一个符号Φ(n)，称为欧拉函数。

利用这个新函数，欧拉证明了如果a和n互质，则n整除a^Φ(n)-1。 注意，当n为质数p时，每一个小于p的正整数都与p互质，即Φ(n)=p-1，此时欧拉推出的定理就变成了对于每一个与p互质 ，都有p整除a^(p-1)-1，当然a^p-a也是整除的。 如果a和p不互质，即p整除a，显然p整除a^p-a。 其实这就是费马小定理。

令人惊讶的是，欧拉定理的证明非常简单，比起他的发现和提议要困难得多。 下面我们来看看他的证明过程。

首先假设a和n互质，在1,2,3,…,n和n互质数R1,R2,R3,…,Rk，则 欧拉函数Φ(n)=k。 然后欧拉考虑 k 个数 aR1、aR2、aR3、…、aRk 除以 n 的余数。 一方面，a和n互质，Ri也分别与n互质，所以它们的余数也与n互质。 另一方面，如果 aRi 和 aRj 除以 n 的余数相同，则 n 必须除以它们的差值，即 n 除以 Ri-Rj，这是不可能的。 因此，aR1,aR2,aR3,…,aRk除以n得到的余数不仅与n互质，而且成对不同。 因此，余数就是R1、R2、R3、……、Rk的某种排列。 所以n除以下乘积的差：

因为R1R2R3…Rk也是n的素数，所以n除a^k-1。 至此，欧拉对费马小定理的推广得到证明。