介绍函数y=x^4-2x^2 1的定义域、取值范围、单调性、奇偶性、极限和凸性，通过导数的知识计算函数的单调区间和凸凹区间 的功能。

根据函数的特点，函数参数x可以取全实数，即函数的定义域为：(-∞, ∞)。

因为y=x^4-2x^2 1，则：

x^4-2x^2 1-y=0，x^2的二次方程有解， 然后：

判别式△=4-4(1-y)≥0，即：

4y≥4-4，解y≥0。

因此，函数的取值范围为：[0, ∞]。

函数的单调性：

∵y=x^4-2x^2 1,

∴dy/dx=4x^3-4x, 设dy/dx=0，则：

4x^3-4x=0，

x(2x^2-2)=0，即x1=0，或者 x^2 =1.

进一步发现：

x1=-1,x2=0,x3=1,

三点划分实数区间 分为四个小区域之间，则：

(1) 当x∈(-∞,-1], (0,1),

dy/dx<0时，则 此时的函数是一个递减函数，这个区间是一个递减区间。

(2) 当x∈[-1, 0],[1, ∞),

dy/dx>0，则此时函数为递增函数，这个区间为递增区间。

从单调性可以看出：

当x0=±1时，函数y有最小值：

ymin=f(±1)

=(±1)^4-2*(±1)^2 1

=0.

函数的奇偶性：

∵f(x)=y=x^4-2x^2 1,

∴ f(-x)=(-x)^2-2*(-x)^2 1

=x^4-2x^2 1=f(x)。

即函数f(x)为偶函数，图像关于 y 轴。

函数的极限：

lim(x→0)x^4-2x^2 1=1;

lim(x→-∞ )x ^4-2x^2 1= ∞;

lim（x→ ∞）x^4-2x^2 1= ∞.

函数的凸性

∵dy/dx=4x^3-4x，

∴d^2y/dx^2=12x^2-4，设d^2y/dx^2=0，则：

x^2=1/3，求x1=-√3/3，

x2=√3/3； 则：

(1) 当x∈(-∞,-√3/3), (√3/3, ∞),

d^2y/dx^2> 0，则此时函数为凹函数，区间为凹区间。

(2) 当x∈[-√3/3, √3/3],

d^2y/dx^2<0时，函数在此凸 时间函数，区间为凸区间。