在上一篇《探索：为什么1/x、1/x^2曲线下的面积为无穷大，而另一个为1》中我们从两个相似函数围成的面积中了解到两个截然相反的 得到了结果，同时也得出了一个重要的结论：当x趋于无穷大时，虽然两个函数都趋于0，但是变化快的函数围成的面积是一个常数值，而变化慢的函数围成的面积 函数趋于无穷大。 你在学微积分的时候注意到这个现象了吗？

另外，我们继续扩展，将面积收敛的1/x^2函数替换为1/(x^2 1)，当x趋于无穷时，其面积为 像吗 首先我们猜测当x为∞时，1/x^2围成的区域存在，那么1/(x^2 1)围成的区域必然存在，因为，在无穷大的情况下，1/x ^2=1/(x^2 1)

/x^2的函数图只有右边的面积，但是1/(x^2 1)的分母有个1，避免了分母为0的可能，所以1/的图 (x^2 1) 包含对称边。 那就是一个偶函数

我们继续分析1/(x^2 1)在无穷远的情况。 如果查积分表或者精通无穷级数，一眼就能看出是一个特殊的积分：它是tanx的反函数，即反正切函数

首先，当tanx=0时，x一定等于0，那么当tanx=∞时，根据你初中的知识，立马得到x=π/2

也可以 换个角度理解：tanx=sinx/cosx，什么情况下斜率tanx最大，一定是sinx=1，cosx=0时最大，所以x=π/2。

当x被t代替并趋于正无穷时，曲线下面积为π/2。 为了得到另一半趋于负无穷大的面积，又因为这是一个偶函数，关于y轴对称，所以1/(x^2 1)围成的总面积为π

你会惊奇地发现，它的面积竟然与π有关，我们平时在处理圆周问题时只看到π，却没有圆周，是数学中令人惊奇的谜例之一。

再看一个例子，下面明显涉及到渐近线的问题，渐近线分为水平渐近线和垂直渐近线

如果我们把垂直渐近线移到右边的直线上，其中t 可以换成任意值，注意能不能从这里找出函数的渐近线，即当x趋于∞时，对应的y值是一个常数，那么这个常数就是x的水平渐近线 , 反之亦然是 y 的垂直渐近线。

下面可以看到，当x=2时，y的值趋于无穷大，所以x=2是y的垂直渐近线

这个函数和上面的不一样 ，只有在 x 取一个特定值时，整个函数才会处于无穷大状态

经过简单的改动，就可以得到这个函数围成的区域。

你会发现我们在无限环境下得到的积分面积和有限区间内的积分性质是一样的，但是更能反映一个函数在无限环境下的真实状态和完整性特征 . 这在无限级数中也表现得淋漓尽致。

以上是一些常用的函数，可能没有引起你的注意，但是这些不起眼的例子却隐藏着丰富的数学知识。

留给小伙伴一个问题：1/(x^2 1)和1/x^2趋于无穷时是等价的，但是为什么当1到∞时：1/( x^2 1) 曲线大于1/x^2曲线下的面积，虽然相差不到1。

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