今天我们将讨论函数的基本性质2——函数的奇偶性。

废话少说，先看看它们的定义：

奇函数的定义

奇函数：假设函数y=f(x)的定义域为D，若D中任意x有f(-x)=-f(x)， 那么这个函数就叫做奇函数。

看完定义，有些同学还是一头雾水。 没关系，你举个例子就明白了。 函数 f(x)=x 是奇函数。 过一段时间你就知道了：

f(-x)=-x=-f(x)，满足f(-x)=-f(x)

所以，f(x)=x 是奇函数。

再看偶函数：

偶函数的定义

偶函数：设函数定义域y=f(x) 为D，若 中的任意x，有f(-x)=f(x)，则称此函数为偶函数。

同理，举个例子就明白了。 f(x)=x2 是一个偶函数，同样，你可以算出：

f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，它正好满足 f( -x)=f(x)，所以是偶函数。

根据上面欧阳老师举的两个例子，细心的同学应该发现了：关于x的幂函数f(x)=xn，只要n是奇数，就是一个 奇函数； 例如，n= 3。f(x)=x3 是奇函数。 只要n是偶数，就是偶函数； 例如，n=4，f(x)=x4，是偶函数。 恭喜，你又发现了幂函数的秘密！

下一节课老师会讲幂函数。 下面，欧阳老师就函数对等问题提出几个问题。

问题一：奇偶函数的定义中含有“任意”二字。 函数奇偶性的本质是什么？ 它与单调性有何不同？

定义中强调“任意”二字，说明函数的奇偶性是定义域内的整体性质，不同于函数的单调性。

问题2：-x与x几何关系如何？ 奇偶校验函数的定义域有什么特点？

奇函数域和偶函数域具有关于原点对称的特征。

2． 奇偶函数图形的对称性：

如果一个函数是奇函数，则该函数的图形是以坐标原点为对称中心的中心对称图。 反之，如果函数的图形是以坐标原点为对称中心的对称中心图形，则该函数为奇函数。

如果一个函数是偶函数，它的图是以y轴为对称轴的轴对称图； 相反，如果函数的图形关于 y 轴对称，则该函数是偶函数。

注意！ 函数对偶的这两个特性很重要，又是相互矛盾的命题，又都成立。

好吧，我们做一些练习：

练习题

先自己做，后面会有答案：

答案 for Exercise 1

判断函数奇偶性的步骤：

第一步判断函数的定义域是否关于原点对称； 第二步是判断f(-x)=f(x)还是判断

f(-x)=-f(x)。

对于一个函数，有 它的奇偶性有四种可能：

是奇数但不是偶数；

偶数但不是奇数；

既奇数又偶数；

既不是奇函数也不是奇偶函数。

让我们练习一个更难的问题。 如果你能做这道题，说明你已经很好的掌握了函数的奇偶校验。 问题和答案都在图片上。 如果不知道怎么做，想知道解题过程，可以私信我。

最后总结一下今天的收获：

关注我，后续更新！