定义：

形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，且 作为常数的指数称为幂函数。

定义域及取值范围：

当a为不同值时，幂函数定义域的不同情况如下：

若a为任意实数，则函数定义域为所有大于0的实数；

若a为负数，则x一定不为0，但此时 函数的定义域也必须有根[根据q的奇偶性，即如果q同时为偶数，则x不能小于0。此时函数的定义域 是所有大于 0 的实数； 如果q同时为奇数，则函数的定义域不等于0的所有实数。

当x为不同值时，幂函数取值范围的不同情况如下：

当x大于0时，函数取值范围始终为实数 大于0。

当x小于0时，同时只有q为奇数，函数取值范围为非零实数。

只有当a为正数时，0才进入函数的取值范围

性质：

对于a的取值非零 有理数，有必要分几种情况讨论各自的特点：

首先我们知道，如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/ q)=q乘根(p的x次方)，若q为奇数，则函数定义域为R，若q为偶数，则函数定义域为[0,∞)。 当指数n为负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数定义域为(-∞, 0)∪(0, ∞ ). 因此，可以看出x有两点限制，一是可以作为分母不能为0，二是可以在偶数根号下不能为负数， 则可知：

排除为0和负数的可能性，即对于x>0，则a可以为任意实数；

排除为 为0，即对于x0的所有实数，q不能为偶数；

排除负数的可能性，即对于大于的所有实数 对于 x 等于 0，a 不能为负。

综上所述，当a为不同值时，幂函数域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则幂函数的域 function is All real numbers greater than 0;

如果a是负数，那么x一定不为0，但是此时函数的定义域也必须根据q的奇偶性来确定， 即如果q同时为偶数，则x不能小于0，则函数的定义域均为大于0的实数； 如果q同时为奇数，则函数的域为所有不等于0的实数。

当x大于0时，函数的取值范围始终为大于0的实数

当x小于0时，同时只有q为奇数，函数取值范围为非零实数。

只有当a为正数时，0才进入函数的取值范围。

因为x大于0，所以对于a的任意值都有意义，所以下面是幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到：

p>

(1) 所有图形都经过(1, 1)。

(2) 当a大于0时，幂函数为单调递增函数，当a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3) 当a大于1时，幂函数图是凹的； 当 a 小于 1 且大于 0 时，幂函数图是凸的。

(4) 当a小于0时，a越小，图形的倾斜度越大。

(5) 如果a大于0，则函数通过(0, 0)； 如果 a 小于 0，则函数不超过 (0, 0)。

(6) 显然，幂函数是无界的。

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