幂函数的定义：

形式为y=x^a（a为常数）的函数，即以底为自变量，幂为自变量的函数 因变量，指数作为常数称为幂函数。

定义域及取值范围：

当a为不同值时，幂函数定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数定义域为所有 值大于0的实数； 如果a为负数，则x一定不为0，但此时函数的定义域也必须根据q的奇偶性来确定，即如果q同时为偶数，则x不能为 小于0，则函数的定义域为所有大于0的实数； 若q同时为奇数，则函数的定义域为所有不等于0的实数。当x为不同值时，幂函数取值范围的不同情况如下： 当x为 大于0时，函数的取值范围始终为大于0的实数。当x小于0时，只有当q同时为奇数时，函数的取值范围为非零实数 数字。 并且只有当a为正数时，0才进入函数的范围。

性质：

a 的值为非零有理数，需要分几种情况讨论各自的特点：

首先我们知道，如果a=p/q，q和p都是整数，那么x^(p/q)=q根号（x的p次方），如果q是奇数 , 函数的定义域为 R, 如果 q 为偶数, 则函数的定义域为 [0, ∞).

当下标n为负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域为(-∞, 0）∪（0，∞）。 因此，可以看出x的局限性来自于两点，一是可以作为分母不能为0，二是可以在偶数次的根号下且 不能为负数，那么我们可以知道：

排除了为0和负数的可能性，即对于x>0，则a可以为任意实数；

排除了为0的可能性，即对于x0的所有实数，q不能为偶数；

排除了为负数的可能性，即 即，对于所有x大于等于0的实数，a不可能为负数。

综上所述，当a为不同值时，幂函数定义域的不同情况如下：

若a为任意实数，则幂函数的定义域 function is All real numbers greater than 0;

如果a是负数，那么x一定不为0，但是此时函数的定义域也必须根据q的奇偶性来确定， 即如果q同时为偶数，则x不能小于0，则函数的定义域均为大于0的实数； 如果q同时为奇数，则函数的域为所有不等于0的实数。

当x大于0时，函数的取值范围始终为大于0的实数

当x小于0时，只有q同时为奇数，函数取值范围为非零实数。

而只有当a​​为正数时，0才进入函数的取值范围。

由于x大于0，对于a的任意值都有意义，所以下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到：

(1) 所有图形都经过(1, 1)。

(2) 当a大于0时，幂函数为单调递增函数，当a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3) 当a大于1时，幂函数图是凹的； 当 a 小于 1 且大于 0 时，幂函数图是凸的。

(4) 当a小于0时，a越小，图形的倾斜度越大。

(5) 如果a大于0，则函数通过(0, 0)； 如果 a 小于 0，则函数不超过 (0, 0)。

(6) 显然幂函数无解。