上一篇讲了无穷级数的一般理论。 就表达函数而言，有两类特殊的函数项级数非常重要：幂级数和三角函数。

幂级数是多项式的推广。 它是无穷次多项式。 它的收敛域非常特殊。 是以某一点为中心的区间，在收敛区间内，求和函数是无限可微的。

三角级数是三角函数无穷和的一种特殊形式。 三角级数所表达的函数可以是不可微的，甚至是不连续的，因此表达的函数范围很广。

因为幂级数使用方便，所以幂级数和三角级数各有所长，不能相互替代。

上一篇讲了无穷级数的一般理论。 就表达函数而言，有两类特殊的函数项级数非常重要：幂级数和三角函数。

幂级数是多项式的推广。 它是无穷次多项式。 它的收敛域非常特殊。 是以某一点为中心的区间，在收敛区间内，求和函数是无限可微的。

三角级数是三角函数无穷和的一种特殊形式。 三角级数所表达的函数可以是不可微的，甚至是不连续的，所以表达的函数范围很广。

因为幂级数使用方便，所以幂级数和三角级数各有所长，不能相互替代。

幂级数的收敛域和求和函数

• 幂级数：Σan(x-x0)^n = a0 a1(x-x0) a2(x- x0) ^2 … 一个 (x-x0)^n … ; 其中an属于R，称为幂级数的系数
• 幂级数的收敛性：
• 1）阿贝尔第一定理：如果幂级数收敛于x1，则 当 x 属于 |x1| 时，幂级数绝对收敛； 如果级数在x2处发散，则对于所有x>|x2 |，所有幂级数发散
• 2) 收敛半径下定理：在幂级数收敛半径R下，(-R, R)收敛 绝对，并且都在 [-R, R] 之外发散。 正或负 R 可能收敛或发散
• 3) 给定一个幂级数 Σan(x-x0)^n，如果 lim |(an 1)/an| = p, 或 lim 3√|an | = p，则收敛半径R = 1/p
• 幂级数和函数的解析性质：
• 1）阿贝尔第二定理：关于收敛和一致收敛的定理
• li>
• 2) 连续性
• 3) 逐项推导和逐项积分
• 幂级数的运算：
• 1 ) 两个幂级数的概念相等，同次幂项的系数也相等
• 2) 函数为奇函数，不会有偶次幂项，反之亦然
• 3）两个幂级数的和与乘积
• 函数幂级数的展开：
• 1）泰勒展开
• 2） McLaughlin展开
• li>
• 3) Lagrange型余数
• 4) Cauchy型余数
• 5) 几种常用初等的幂级数展开 功能
• li>

上一篇讲了无穷级数的一般理论。 就表达函数而言，有两类特殊的函数项级数非常重要：幂级数和三角函数。

幂级数是多项式的推广。 它是无穷次多项式。 它的收敛域非常特殊。 是以某一点为中心的区间，在收敛区间内，求和函数是无限可微的。

三角级数是三角函数无穷和的一种特殊形式。 三角级数所表达的函数可以是不可微的，甚至是不连续的，所以表达的函数范围很广。

因为幂级数使用方便，所以幂级数和三角级数各有所长，不能相互替代。

幂级数的收敛域和求和函数

• 幂级数：Σan(x-x0)^n = a0 a1(x-x0) a2(x- x0) ^2 … 一个 (x-x0)^n … ; 其中an属于R，称为幂级数的系数
• 幂级数的收敛性：
• 1）阿贝尔第一定理：如果幂级数收敛于x1，则 当 x 属于 |x1| 时，幂级数绝对收敛； 如果级数在x2处发散，则对于所有x>|x2 |，所有幂级数发散
• 2) 收敛半径下定理：在幂级数收敛半径R下，(-R, R)收敛 绝对，并且都在 [-R, R] 之外发散。 正或负 R 可能收敛或发散
• 3) 给定一个幂级数 Σan(x-x0)^n，如果 lim |(an 1)/an| = p, 或 lim 3√|an | = p，则收敛半径R = 1/p
• 幂级数和函数的解析性质：
• 1）阿贝尔第二定理：关于收敛和一致收敛的定理
• li>
• 2) 连续性
• 3) 逐项推导和逐项积分
• 幂级数的运算：
• 1 ) 两个幂级数的概念相等，同次幂项的系数也相等
• 2) 函数为奇函数，不会有偶次幂项，反之亦然
• 3）两个幂级数的和与乘积
• 函数幂级数的展开：
• 1）泰勒展开
• 2） McLaughlin展开
• li>
• 3) Lagrange型余数
• 4) Cauchy型余数
• 5) 几种常用初等的幂级数展开 功能
• li>