问题1.用图像研究函数的零点个数

知识提示：用图像研究函数 函数零点的关键 要正确绘制函数图形，请观察图形交点的数量。 由于答题要看图，所以图的制作要正确、规范，标出目标的关键点和线条。 此外，有时为了更好地绘制，必须调整功能，并成为常用功能。

例1.定义在R 上的奇函数f(x)满足f (x+4)=f(x)，并且在区间 [2, 4)

【解析】因为f(x+4)=f(x)，f(x)是一个周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2, 4)上的图像 ，根据奇函数 函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的像，由y=f(x)－log5| x|＝0，得到f(x)＝log5| x | ，分别绘制y=f(x)和y=log5|x >|的图像，如下图，是f(5)=f(1)=1，而log55=1，f(－ 3)=f(1)=1, log5|－3| < 1, 且f(－7)=f(1) =1, 且log5|－7|=log57 > 1, 可以得到两个的5个交点 图像，所以零点的数量是 5。

本题考察函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性。 处理，根据函数的属性制作函数的图像，灵活使用图像。 找到临界点是解决问题的重点和难点。

问题2：根据函数的零点确定参数范围

知识提示：求解函数零点问题的填空题，基本策略是用数形相结合的方法求解。 应用数形结合的思想时，一般将一个函数的零点问题转化为两个函数，此时为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是无参函数， 一个是带参数的函数，即转换成“一静一动”的两个函数。 这样，通过研究“动”函数图像与“静”函数图像的相对位置关系，就可以得到问题的解。

例2，

【分析】注意当x<-1时，可以得到f(x)=x2-2ax的零点，即x=0 （四舍五入）或x=2a，为此需要讨论2a是否小于-1，如果2a大于等于-1，则要求当x≥-1时，f( x)有三个零点，所以通过数形结合研究 如果2a小于-1，当x≥-1时f(x)应该有两个零点，所以可以通过数形结合研究， 然后就可以得到问题的答案。

由x2－2ax＝0，x＝0或x＝2a，因为x<－1，所以x＝0不符合题意。

问题3.用函数图像求解多元问题

知识提示：求解多元问题的主要思路是将多元问题转化为单元问题。 找出各个参数之间的关系，但要注意参数的范围。

例3、

思路：根据函数的解析式，结合函数的图像可以得到a、b、c的关系， 可以利用消元思想将问题转化为一元函数问题，然后利用求导知识求解。

问题求解过程：函数的图像如下：

本题以分段函数为背景，考察求导知识在求解函数综合题中的应用，以及数形结合、归约变换等重要数学思想。

第四题，复合函数的零点问题

知识提示：本题考查复合函数的组成零点问题，处理解的个数问题 f(g(x))=0的，往往通过改变顺序t=g(x)，f(t)=0，研究t的解的个数，然后讨论每个g对应的解x的个数 (x)=t 通常通过组合数字和形状来处理。 在研究高阶方程和不等式时，首先要考虑的是它们是否可以约化并转化为低阶方程和不等式； 其次，在研究方程和不等式时，要充分注意它们与函数的关系，即充分利用它们。 利用对应函数形象的直觉来研究问题，往往能起到化难为易、化繁为简的作用。

例4.

函数g(x)=f(x)-k(x-3)正好有2个不同的零点，也就是说函数y=f( x) ，y=k(x－3)的图像有2个交点，所以关键是绘制函数y=f(x)的图像，将函数y=f(x)的图像进行分割 区间[1, 2)上每一个点的横坐标和纵坐标都拉长2倍，得到区间[2, 4)上y=f(x)的像，函数y=f (x)在区间[2, 4)上将图像各点的横坐标和纵坐标拉长2倍，得到区间[4, 8)上y=f(x)的图像，如此 on，然后检查两个函数图像有两个交点斜率时的线。

函数g(x)=f(x)-k(x-3)正好有2个不同的零点，也就是说函数y=f(x), y=k(x- 3）图像有2个交点。 画出y=f(x)和y=k(x-3)的图，可以看出。 当k > 0时，当且仅当点(16, 8)在直线y=k(x-3)上方，点(32, 16)在直线y=k(x-3)下方 （或上文）两幅图像有两个共同点，可得16/29 ≤ k < 8/13； 当k < 0时，当且仅当点(2, 1)在y=k(x－ 3)直线上时，两幅图像有两个公共点，可知-1<k< 0，所以求取实数k的取值范围为(-1, 0)∪[16/29 , 8/13 )。

这道函数题的难点在于求和 第二幅图像y=f(x)的绘制，其实就是图像平移变换的应用。 后续图像是先前图像的模数。 纵坐标被拉伸到原始值的两倍。 本题为填空题。 也可以直接用具体的数字去计算，发现规律，然后画出原理图。 最后利用数字和形状的组合，找到符合题意的关键位置，最终解出最终答案。