在我之前的文章《伟大的数学家傅立叶》中，我们对傅立叶级数有了初步的了解，今天就来和大家详细了解一下傅立叶级数。

1. 三角级数

我们知道，在科学实验和工程技术的一些现象中，经常会遇到周期性运动。 最简单的周期运动可以用正弦函数y=Asin(ωx φ)来描述，也称为简谐振动，其中A是振幅，φ是初始相位角，ω是角频率，所以周期 简谐振动y为T=2π/ω。 更复杂的周期运动往往是几个简谐运动：

k=1,2,…,n叠加

通过一系列的推导，我们可以得到一个更一般的情况，即：

上式右边称为三角级数。

构成三角级数的第1列函数cosx,sinx,cos(2x),sin(2x),…,cos(nx),sin(nx),…称为三角函数 系统。

三角函数系统具有以下性质：

1． 三角函数系中的所有函数都有一个共同的周期2π。

2. 在三角函数系中，任意两个不同函数的乘积在[-π, π]上的积分为零，即：

3。 三角函数系 [-π,π] 中任意函数的平方积分不为零。 即：

该性质表明三角函数系在[-π, π]上具有正交性，或者说是正交函数系。

二、傅里叶级数

有了以上知识，我们就可以给出傅里叶级数的定义：设f(x)为一个周期为2π的周期函数，若

如果右边的三角级数在整个数轴上可积，则下列关系成立：

其中，an和bn称为函数f(x)对a的傅里叶系数 三角函数系统。

以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数称为f(x)的傅里叶级数，记为：

这里的标记“～ “表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。 如果右边的三角级数在整个数轴上收敛于求和函数f(x)，根据定理，三角级数就是f(x)的傅里叶级数。 叶子系列，即标记“~”可以用“=”代替。

根据上述公式得到傅里叶系数，得到傅里叶级数。 这时，我们还需要讨论：

（1）这个级数是否收敛？

(2)如果收敛，是否收敛到f(x)本身？

这两个问题需要用狄利克雷收敛定理来回答。

狄利克雷定理：设 f(x) 为周期为 2π 的函数，如果函数在闭区间 [-π, π] 上连续或只有有限数量的第一类不连续点 , 且至多有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数收敛，进一步，

(1) 若x为f(x)的连续点，则级数收敛为 f(x);

(2) 若x为f(x)的不连续点，级数收敛于f在x点的左右极限的算术平均值，即：

值得注意的是，虽然傅立叶级数的收敛性不如幂级数，但其对函数的要求远低于幂级数，因此应用更为广泛。 甚至可以删除函数是周期性的要求。

三、正弦级数和余弦级数

一般来说，如果一个函数可以展开成傅立叶级数，那么它同时包含正弦项和余弦项。 但是，某些函数仅包含正弦或余弦项。 事实上，这种现象与给定函数的奇偶性有关。 这些是正弦级数和余弦级数。

如果f(x)是周期为2π的函数，则：

1。 当函数f(x)为奇函数时，由于f(x)cos(nx)为奇函数，f(x)sin(nx)为偶函数，其积分为偶数乘以奇零，则其 傅立叶系数为：

此时f(x)的傅立叶叶级数是一个只有正弦项的正弦级数。

2. 当函数f(x)为偶函数时，其傅里叶系数为：

此时f(x)的傅里叶级数只是常数和余弦项的余弦级数。

对于(0, π)上的函数f(x)，将其展开为正弦级数和余弦级数的步骤如下：

1． 奇扩展名。

F(x) f(x) 的周期延拓展开为 (0, π) 上的正弦级数。

F(x) f(x) 的周期延拓展开为 (0, π)上的余弦级数。

四、周期为2l的函数的傅里叶级数

转换为傅里叶级数函数的周期不受限制 到2π，可以是任意周期2L，只要相应改变上式的参数即可。

假设f(x)是一个周期为2l的函数，通过变量代入：

可以将f(x)变换为周期为2π的变量t的函数。如果f在[-l,l]上可积，则F在[-π,π]上也是可积的， 此时函数F的傅里叶级数展开为：

这是函数f的周期为2l的傅里叶级数，an、bn是f的周期为2l的傅里叶函数

f(x)是一个周期为2l的函数，如果f在[-l,l]上满足Dirichlet收敛条件，那么

下面我们研究一个 例子加深我们对傅里叶级数的理解。

例子：设f(x)在[0,π)上的表达式为：f(x)=1。

F( x)在f(x)的奇连续后展开为傅里叶级数。

f(x)奇连续图形

解：根据题意，先 求函数的傅里叶系数。

因为函数在x=kπ(k=0,±1,±2,…)点是第一个类不连续点，在其他点连续 ，根据定理，当x=kπ时，级数收敛为：

当x≠kπ时，有

总之，傅里尔级数的实际应用主要是表示 复杂周期函数作为三角函数的线性组合，通过对简单函数的分析，达到对复杂函数的深入理解和研究。