1. 导数（导数函数的简称）的定义：设x0为函数y=f(x)定义域内的一点，若自变量x在x0处有增量Δx，则函数值y会引起相应的 增加量 ∆y=f(x0 ∆x)-f(x0); 比率Δy/Δx=[f(x0 Δx)-f(x0)]/Δx 称为函数y=f(x) 在该点x0 和x0 Δx 之间的平均变化率； 如果极限

存在，则称函数y=f(x)在x0点可微，这个极限称为y=f(x)在x0点的导数，记为f´( x0) 或 y´|x=x0, 即 f´(x0)=

.

注意：①Δx是一个增量，我们也称它为“变化量”，因为Δx可以是正数也可以是负数，但不能为零。

②若函数y=f(x)的定义域为A，y=f'(x)的定义域为B，则A与B的关系是包含且相等的。

2. 函数y=f(x)在x0点连续且在x0点可导的关系：

⑴函数y=f(x)在x0点处的连续性是y=f(x)在x0点处求导的必要条件和不充分条件。

可以证明 即如果 y=f( x) 在 x0 点可导，则 y=f(x) 在 x0 点连续。

事实上，令 x=x0 Δx，则 x→x0 等价 到Δx→0。

所以

⑵若y=f(x)在x0点连续，则y=f(x)在x0点可导，即 不正确。

示例：f(x)=|x| 在x0=0点连续，但在x0=0点不可微，因为Δy/Δx=|Δx|/Δx，当Δx＞0时Δy/Δx=1； 当Δx<0时，Δy/Δx=-1，所以

不存在。

注：①可导奇函数的导数是偶函数。

②偶函数的导数是奇函数。

3． 导数的几何意义：

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率 点(x0,f(x))，即曲线y=f(x)点P(x0,f(x))处切线的斜率为f'( x0), 切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0) 。

4. 导数的四个算术规则：

(u±v)’=u’±v’=>y=f₁(x) f₂(x) .. .fn(x)=>y’=f ‘₁(x) f’₂(x) … f’n(x)

(uv)’=vu’ v’u=> (cv)’=c’v cv’= cv'(c为常数)

(u/v)’=(vu’-v’u)/v²(v≠0)

注：①u、v必须 是可导函数。

②如果两个函数是可导的，那么它们的和、差、积、商一定是可导的； 如果两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可微。

例如：如果f(x)=2sinx 2/x, g(x) =cosx-2/x，则f(x)、g(x)在x=0处不可导，但它们和f(x) g(x)=sinx cosx在x=0处均可导。

5. 复合函数f’x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或y’x=y’u·u’x的推导规则

复合函数的推导规则 function 可以扩展到多个中间变量的情况。

6. 函数单调性：

⑴判断函数单调性的方法：令函数y=f(x)在一定区间内可导，若f'(x)>0，则y=f(x) 是增函数； 若f'(x)<0，则y=f(x)为减函数。

⑵常量确定法；

若函数y=f(x)总有 f'(x)=0 在区间 I 内，则 y=f(x) 为常数。

注：①f(x)>0 是 f(x) 增加，但这不是必要条件。 比如y=2x³ 并不总是在(-∞, ∞) 有f(x)>0，有一个例外就是f(x) = 0 当x=0时，相同的f(x)<0是f(x)减小的充分非必要条件。

②一般来说，如果f (x)在一定区间内有有限个点为零，则其余各点为正（或负），则f（x)在这个区间内仍然单调递增（或单调递减）。

7. 极值的判别方法：（极值是x0附近的所有点，所有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值，最小值是 同)

当函数f(x)在x0点连续时，

①如果在x0附近左边f'(x)>0，则右边f'( x)<0，则f(x0)为最大值；

②若x0附近左侧f'(x)0，则 f(x0)为最小值。

也就是说，x0为极值点的充分条件是x0点两边的导数符号不同，而不是f'(x )=0①。 另外，函数的不可微点也可能是函数的极值点②。 当然，极值是一个局部的概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能最大值小于最小值（某一点的函数与附近的点不同 ).

注①：若点x0为导数函数f(x)的极值点，则f'(x)=0。 但反过来不一定成立。 对于导数函数 x0 点为极值点的必要条件是如果函数在该点可微，则导数值为零。

例如：函数 y=f( x)=x³，x=0使f'(x)=0，但x=0不是极值点。

② 例如：函数y=f(x)=|x| 在x=0点不可导，但x=0点是函数的最小值点。

8. 极值与最大值的区别：极值是局部比较函数值，最大值是在整体区间上比较函数值。

注：极值点 功能必须有意义。

9. 几种常见的函数导数：

I.C’=0(C为常数) (sinx)’=cosx (arcsinx)’=1/√(1-x²)

(xⁿ)’=nx(n-1)次方(n∈R)(cosx)’=-sinx(arccosx)’=-1/√(1-x²)

二． (ln x)’=1/x (log a x)’=1/xlogae (arctanx)’=1/(x² 1)

(e的x次方)’= e的x次方 of a (a 的 x 次方)’=a 的 x 次方 lna (arc cotx)’=-1/(x² 1)

III. 常用推导方法：

①常用结论：(ln|x|)’=1/x。

②形如y=(x-a₁)(x-a₂).. .(x-an) 或 y=(x-a₁)(x-a₂)…(x-an)/(x-b₁)(x-b₂)…(x-bn) 取自然对数

③无理函数或函数如y=x的x次方，如y=x的x次方，可转化 取自然对数后变成y=lnx，对两边求导可得y/y=lnx x*1/x=>y’=ylnx y=>y’=x的x次方lnx x的x次方。

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