初中先学解方程，

再学函数，

二元线性方程组

x y=9

x-y=1

将第一个方程平移后，

你会得到y=9-x

学习函数的时候，说这个公式定义了一个函数

同一个公式也可以叫做方程，也可以是 叫一个函数

现在的碾米比古代的磨盘还厉害

方程和函数有什么区别？

思考的角度不同，方程是静态的思考

函数变成了动态的思考

在求解方程组的时候， 就是求出满足方程组条件的一个变量的值

当看成一个函数时，它表示y随着x的不同取值的变化。

可以在坐标系上绘制函数，得到函数的图像。

将上述方程的两个表达式平移后，视为函数，绘制在同一坐标系上。 这两个线性函数的图像都是一条直线。

空间右手坐标系

它们在坐标系上并且有交点。

这个交点的横纵坐标值就是方程组的解。

这样就可以看出函数动态思维的优势了。

两个线性函数的图形都是直线。

它们在坐标系中至多有一个交点，

如果平行则没有交点。

这个属性一目了然。

函数动态理解事物。

微积分在函数的基础上更动态地理解事物。

导数是研究因变量随自变量的变化率。

导数的对象是函数。

几何雕塑

有人说函数的三要素是定义域、取值范围、对应关系

函数的变化范围 函数参数就是定义域

因变量的变化范围就是取值范围

给出一个自变量如何对应一个因变量的规则就是对应关系。

我们常用的函数，幂函数，指数函数，三角函数等等当然都是函数。

只要给定一个x值，能对应一个y值的就是函数。

有些看起来很奇怪，好像没有什么实际意义，

比如数轴上所有有理数点对应1，无理数点对应0。

这也是一个函数。

具体来说，有人规定了一个函数，重要不重要，有没有研究价值，每个人，每个数学家可能也有不同的看法，但是只要符合定义，就是 一个功能。

我们研究物理，主要内容是对现实世界建模的函数。

研究人为规定的函数有意义吗？

现在人工智能正在兴起，机器学习算法允​​许计算机从给定数据中总结函数关系以预测事物。

因此人工规定函数的研究意义比以往更大。

有人用集合论的语言从更高的抽象层次上描述和理解函数。

把函数理解为一组数到另一组数的映射关系。

小鸟和影子关于水面镜像对称

奇函数是指一个函数的图像绕坐标原点旋转180度后可以重合 与它的原始图像。 所以奇函数的像是中心对称的，比如y=sin x。

偶函数是指一个函数的像镜像到y轴后，可以重合 与其原始图像，所以偶数函数图像是左右对称的。 比如y=cos x。

这个兼职左右对称

复合函数本来就是两个函数，给第一个函数输入一个参数，得到的结果是 第一个函数的因变量值，将这个因变量值作为自变量输入到第二个函数中，得到第二个函数的因变量值。

这样，第一个函数的自变量值和第二个函数的因变量值就构成了对应关系。 定义了一个新函数。 这个新函数是原来两个函数的复合函数。

这些对是一一对应的

反函数，如果用集合论的语言来描述，只有函数的定义域和取值范围构成一个一 一一对应，且函数具有反函数。

所以一个周期函数，比如sin x，在它的定义域被限制后，有一个反函数。

一个函数与其反函数的关系是自变量与因变量的对应关系没有改变。 但是自变量和因变量的身份发生了变化。

函数及其反函数的图形关于直线 y=x 的中心对称。