1. 函数奇偶性的定义
对于函数域内的所有x，若f(一x)=f(x)，则该函数为偶函数。 并且偶数函数的图形关于y轴对称； 如果 f(-x)=f(×)，则该函数是奇函数。 并且奇函数的图形关于原点对称。
2。 函数的奇偶性和单调性的关系
函数的奇偶性和单调性是不同的。 单调性是函数的局部属性，而奇偶性是函数的整体属性。 单调性是比较f(x1)和f(X2)在区间D上的大小，是函数增减的性质； 而奇偶校验就是求f(-x)与f(X)、f(-X)之间的关系。
奇函数在对称区间上具有相同的单调性； 偶函数在对称区间上具有相反的单调性。
三、关于函数奇偶校验的结论
1. 若函数的定义域关于原点对称，且①f(one x)=one f(X)，则称f(x)为奇函数；
②f(one x)= f(x)，称f(x)为偶函数；
③ f(one x)=one f(X) 且f(one x)=f(× )，则称f(x)既是奇函数又是偶函数；
④f(一x)≠f(X)且f(一×)≠一f(×)， 据说f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
2. 如果函数的定义域关于原点不对称，则函数既不是奇数也不是偶数。
错误：研究一个函数的奇偶性而不考虑函数的定义域。 如f(x)=X²(x ∈ (one 1, 1], f(one x)=(one X)²=X²=f(x), ∴ f(×)是偶函数。显然上面 公式对于x =1不成立。
问题1：判断函数的奇偶性
1.判断分段函数的奇偶性
判断 函数 y=
X²-2X-5, Ⅹ>o
O, X=o
-X²-2X-5, X<0
奇偶性。
解：由定义，函数的定义域为R，关于原点对称。
当x>0时，一个x< 0, f(一x)=一(一×)²一2(一×)一5=一X² 2X一5=一(x²一2×5)=一f(×);
当X0, f(one x)=(one×)²one 2(one x) 5=X² 2X 5=one f(x);
当x=0 , 一个x=0, f(一0)=f(0)=0,
综上所述函数是奇函数。
纠错：分段函数一定是 各段讨论。且奇偶性一致。当然，前提是定义域关于原点对称。
2.带参函数奇偶性的判断
例子：判断函数f(X)=| 一个| 一|X一a|(a∈R)奇偶性。
解：函数的定义域为(—∞,∞)，关于原点对称。
f(一x)=|一X a丨一丨一X一a丨=丨X一丨一丨X a丨=一(|X a|一丨X一a|)=一f(x) , ∴f( x) 是奇函数。
错误：上面的解看似正确，但仔细分析后发现问题所在。
当a=0时， f(x)=0，f(一x)=f(x)=f(X)=0，函数既是奇函数又是偶函数。
正解：1.看 在定义域；
2． 当a≠0时，同上，函数为奇函数；
3． 当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数。
总结说明：当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，函数为奇函数。
检验类型2：用奇偶性求函数的解析式
例：①已知f( X)是R上的偶函数，且当x0时，f(x)=
②若f(x )是R上的奇函数，当×>0时，f(X)=-2X² 3X 1，求f(×)解析式。
[解析]从你想要的开始，转
解①设x>0，则x<0，f(one×)=one X(one×one 1)=X(X 1)，因为f( one×)=f(X)∴f(X)=X(x 1)。
②当x0时，f(one X)=one 2(one×)² 3(one×) 1=one 2X²one 3X 1，又因为f(X)是一个 奇函数，所以f(X)=-f(-x), ∴ f(Ⅹ)=2X² 3x-1。
而f(x)是R上的奇函数，∴f(一0)=f(0)=0，
∴f(x)的解析式为 f (X)=
一2X² 3X 1，(X>0)
0，(X=0)
2X² 3X一1。
利用奇偶校验求解析公式进行纠错：
1． 设置在哪个区间找哪个区间的解析公式；
2． 将区间乘以一个1，转化为已知区间，代入解析式；
3． 如果是偶函数，则f(x)=f(one x)=…
如果是奇函数，则f(x)=one f(one x))=。 ..
类型3，奇偶性与单调性的密切关系
例：设f(x )是R上的偶函数，在(-∞, 0)区间递增 , 且f(2a² a 1)<f(3a²-2a 1),求a的取值范围。
[分析]求解含“f”的不等式，必须利用函数的单调性。 因为2a² a 1=2(a 1/4)² 7/8>0, 3a²—2a 1=3(a—1/3)^2 2/3>0, 因为f(X)是偶函数 R , 并在(-∞, 0)处增加，故f(X)在(0, ∞)处减小，故用单调性去掉f，化为普通不等式解。
解：∵2a² a 1=2(a 1/4)² 7/8>0
3a²一2a 1=3(a一1/3)² 2/ 3>0
因为f(X)是偶函数，它在(-∞,0)上递增，当X>0时，-X<0，∴当0<X1<X2时，一X2 <one X1<0, f(one X2)<f(one x1), ∴ f(X2)<f(X1)。 即f(X)在(0, ∞)上递减，
∴2a² a 1>3a²—2a 1
解为0<a<3
即a的取值范围为{a丨0<a<3}。
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