大家好，这里是Ferry School。 很高兴在这里见到你。 期中考试马上就要开始了。 你的复习准备在哪里？ 本次课程，我们就来说说奇函数相关的变形测试点。 如何通过对奇函数进行四次算术运算来判断函数的奇偶性？

证明：因为f(x)是奇函数，所以f(x)的定义域关于原点对称，满足：f(x)=-f(-x)，所以-f (x )关于原点对称，且-f(x)=f(-x)，设g(x)=-f(x)，则g(x)=-g(-x)，即 g(x ) 是奇函数，则-f(x) 是奇函数。

举个实际例子：假设f(x)=x，-f(x)=-x，那么-f(x)是奇函数。 相关证明，你自己下去证明。 （提示，根据奇函数的定义可以证明。）

证明：因为f(x)是奇函数，所以f(x)的定义域关于原点对称， 且满足：f(x)=-f(-x)，所以-f(x)的定义域关于原点对称，且-f(x)=f(-x)，设g(x)=- f(x)，则g(x)=-g(-x)，即g(x)为奇函数，则-f(x)为奇函数。

举个实际例子：假设f(x)=x，-f(x)=-x，那么-f(x)是奇函数。 相关证明，你自己下去证明。 （提示，可以根据奇函数的定义来证明。）

证明：因为f(x),g(x)是奇函数，所以f(x),g(x)的 定义域关于原点对称，满足：f(x)=-f(-x), g(x)=-g(-x)，所以f(x)g(x)的定义域是对称的 关于原点，且f(x)g(x)=f(-x)g(-x)，设h(x)=f(x)g(x)，则h(x)=h(-x ), 即 g(x ) 是偶函数，则 f(x)g(x) 是偶函数。

下面举一个实际的例子：假设f(x)=x，g(x)=-x，则f(x)g(x)=-x的平方是偶函数。 相关证明，你自己下去证明。

4 已知f(x)和g(x)是奇函数，表达式不相反，定义域相同，判断f(x)的奇偶性 g(x)

证明：因为f(x),g(x)是奇函数，所以f(x),g(x)的定义域关于原点对称，满足： f(x)=-f(-x) , g(x)=-g(-x) 因此 f(x) g(x) 的定义域关于原点对称，并且 f(x) g(x) =-f(-x)-g(-x) ，设h(x)=f(x) g(x)，则h(x)=-h(-x)，即g(x)为 奇函数，则 f(x) g(x) 是奇函数 。 注意：当两个函数的表达式相反时，此时的函数是常数函数，我们不要求常数函数的奇偶性。

下面举一个实际的例子：设f(x)=x，g(x)=2 x，则f(x) g(x)=-3 x是奇函数。 相关证明，你自己下去证明。

5 已知f(x)和g(x)是两个不相等的奇函数，定义域相同，判断f(x)-g( x)

根据4个相关证明，可以做出相关证明。 证明过程留给你去证明。 我们得出结论，f(x)-g(x) 没有奇偶性（奇偶性不确定）。 例如：f(x)=x的三次方，g(x)=x，f(x)-g(x)既不是奇数也不是偶数。 完整的证明过程一定要自己写，不然还是看不懂奇函数。 如果您还没有证明，请与我们分享您遇到的困难。 我们下节课见。 当然也可以考虑函数的划分，自己给出证明。

时间紧迫，我们就把这门课程分享给大家，我们下期再见。 如果您有任何问题，请在下方留言，我们将尽快给您满意的答复。

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