2.1 用级数定义一些函数

在学习复变函数之前，让我们喊三声：变！

我不需要说什么是复数。 但是你能解释一下 2 的 i 次方是什么意思吗？ 如果说i 2s相乘就很难理解了。 现在重新定义之前学过的函数，使其在复数范围内也可以使用。 这些任务称为分析延续。

前面系列定义了。 无论 x 是实数还是复数，该定义都适用。

利用欧拉公式，exp ix=cos x i sin x可以定义sin x和cos x。 将exp ix开，然后将实部和虚部分开得到：

可以看出sin x是奇函数，cos x是偶函数。 为了产生波形，它们的系数一正一负。 直接推导就知道了。 有兴趣的同学粗略计算一下就知道了。

但是用级数来定义三角函数很不方便。 比如sin π=0，一眼就看不出来（这件事的证明要等到傅里叶级数），所以有时候我们也会用到几何定义。 如果x是复数，sin x和cos x的几何意义就比较难理解了。 现在我们只需要知道它们是系列即可。

那么可以定义ln x：如果exp x=y，那么ln y=x。 但是奇怪的事情出现了：我们已经知道exp 2πi=1，那么ln exp 2πi=ln 1，是不是2πi=0？

其实不同的x可以有相同的exp x，所以exp x的反函数不是单值的，就像反三角函数的问题一样。 后面我们会讲到多值函数，但是现在我们可以定义：如果 Im x∈[0, 2π) 且 exp x=y，则 ln y=x。 （im x表示x的虚部）

现在定义了任意非零复数的对数，然后就可以定义一般的求幂运算了：（需要一个bi≠0）。 这样就定义了任意非零复数的复次幂，但零仍然是个麻烦的问题。

另外注意，上面说的推导和积分都是在一维的情况下。 现在自变量可以在二维复平面上移动，求导和积分的几何意义都发生了一些变化，但旧公式仍然适用。