1。 函数奇偶校验的概念

1． 一般地，对于一个函数f(x)，如果在函数域中任意x有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数域中的任意x，f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

注意：奇偶性是针对整个域，而单调性是针对域内的某个区间。 定义域关于原点对称，函数具有奇偶性的必要条件。

2. 根据奇偶校验的分类，函数可以分为四类：

奇函数和非偶函数，偶函数和非奇函数 奇函数, 既非奇函数也非偶函数, 奇函数或偶函数.

3.奇偶函数图像：

奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。

奇函数

偶函数

4. 函数奇偶性的性质：

①对于具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

②若f(x)为奇函数且x定义为0，则f (0)=0。

③ 若奇函数在关于原点对称的区间上具有单调性，则其单调性完全相同，最大值相反； 若偶函数在关于原点对称的区间上具有单调性，则其单调性相反，最大值相同

④定义在R上的任意函数f(x)可以唯一表示为 一个奇函数和一个偶函数。

⑤若有函数g(x)和f(x)，则它们的复合函数f[g(x)]的定义域关于原点对称。 当u=g(x),y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数； 当u=g(x),y=f(u)都是偶函数或一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。

复合函数奇偶校验的特点是：“内偶为偶，内奇与外相同”。

5． 有关函数奇偶性的几个结论：

①奇函数odd function = odd function； 偶函数偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数； 奇函数×偶函数=奇函数。

2. 判断函数奇偶性的步骤：

①求f(x)的定义域，判断定义域是否关于原点对称； 对称转向下一步

②。 化简f(x)，求f(-x)，比较两者关系

③. 根据定义得出结论。

三、判断抽象函数的奇偶性

方法：判断抽象函数的奇偶性常用赋值法。 在已知的抽象函数关系中求f(-x) f(x) 或f(-x)-f(x)。 一般先求f(0)(或f(1)、f(-1))的值，然后令y=-x，得到f(-x)和f(x)的关系。