1。 概念抽象

奇偶校验是一个函数的“全局属性”。 同单调性一样，奇偶性将图像的对称性（几何特征）转化为代数关系，用严格的符号语言表达，传达形状和数字，实现了从定性到定量的转变。 偶函数的图像是一个轴对称图，对称轴是固定的——y 轴。 偶函数的判断规则是用f(－x)=f(x)表示“图像是轴对称图形，对称轴为y轴”;

同理，奇函数的判断规则是用f(-x)=-f(x >)表示“图像是一个中心对称图形，对称中心为原点”。

通过具体例子的计算和取值规律的观察，发现“自变量取一对相反数时，对应的两个函数值 是相等的”，使用符号抽象意味着“函数f(x)的定义域是I, 如果∀ x∈I, 两者都有-x∈I, 和f (- x)=f(x)”，由此可以总结出偶函数的判断规则。类似于 偶函数的本质，你能概括出奇函数的本质和符号表示吗？

2。 奇偶性判断

判断一个函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，再看f(x ) 与f(-x)相等或相反，根据定义判断函数的奇偶性。 如果域不对称，则这样的函数必须既非奇数也非偶数。

通过对函数奇偶性的研究，从中得出三个结论：

结论1：若定义奇函数在x=0，则必有f(0)=0．

因为在x=0处，肯定是关于(0,0)对称的，对于同一个x不可能对应两个ys，所以只能是f(0)=0。

也可以根据f(-x)=-f(x), f(-0)=-f(0)f(0)=0。

当然奇函数也可以不定义在x=0处，比如此时不考虑x=0的情况。 只要有定义，就一定有f(0)=0。 偶函数有这样的结论吗？ 想一想！

结论2：奇偶函数有无穷多个，这些函数的取值范围是{0}。

请不要忘记，不同域的函数是不同的函数。 如f(x)=0，x∈R； f(x)=0, x∈(-1,1); f(x)=0, x∈[-1,1]。 图像是一个点，它也是奇数和偶数的函数。

结论3：已知系数a,b,c,d,e,f∈R为常量。

⑴若f(x)为奇函数，则系数满足b=d=f=0；

⑵若f(x)为偶函数，则系数满足a= c=e=0．

对于一个多项式函数来说，如果是奇函数，就一定只有奇数项，如果是偶函数，就一定只有偶数项。

函数运算后的奇偶性也可以通过定义直接验证。 奇函数的和（或差）仍然是奇函数，偶函数的和（或差）仍然是偶函数，奇函数的和（或差）仍然是偶函数。 对于偶函数的乘积，考虑奇函数的个数，如果奇函数的个数为奇数，则为奇函数，如果奇函数的个数为偶数，则为偶函数。

3. 复合函数的奇偶性

复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定。 判断函数是奇数还是偶数，取x为-x，看结果前有没有减号。

对于复合函数F(x)=f(g(x))：

(1)若g(x)为奇函数，即g(- x) =-g(x),

当f(x)为奇函数时，则f(g(-x))= f(-g(x))=-f(g( x)) ,

那么当F(-x)=f(g(-x))=-f(g(x))=-F(x)时，所以F(x)是一个 奇函数；

(2) 若g(x)为奇函数，即g(-x)=-g(x)，

f(x)为 一个偶函数，则 f( g(-x)) = f(g(x)),

当 F(-x)=f(g(-x))=f(g(x ))=F(x ),故F(x)为偶函数；

(3) 若g(x)为偶函数，即g(-x)=g(x ),不管f(x)的奇偶性如何,f(g(-x))= f(g(x))成立,

则当F(-x)=f(g (-x))=f(g(x) ))=F(x)，所以F(x)是偶函数；

通过上面的枚举和归纳，奇偶偶律 复合函数的总结是：“一个偶数是偶数，所有奇数是奇数”。 这个结论可以推广到多层复合函数。 只要复合函数中的一层函数是偶函数，复合函数就是偶函数。 只有当复合函数的每一层都是奇函数时，复合函数才是奇函数。