这次老黄要分享一个包含反三角函数的奇函数方程，如何用牛顿正切法求解。 《老黄学高等数学》系列视频第211讲详细介绍了牛顿正切法。 具体步骤分为三步： (1) 确定树根的大概位置； (2) 用点序列{xn}逼近方程的根； (3) 检查近似根的绝对误差。 在实际操作中，会有一些调整。

将方程 x-2arctanx=0 的根逼近到最接近的 0.001。

解析：在求解问题的过程中为了描述方便，我们记下函数f(x)=x-2arctanx。 并且发现这是一个连续的奇函数。 连续奇函数必须通过原点，即f(0)=0。 它表明 x=0 是原方程的一个根。 此外，奇函数的性质决定了方程要么没有其他根，如果有，则必须有偶数个根（0除外）。 并且它们以相互相反的数字的形式成对出现。 我们只需要得到正区间或负区间的所有根，就可以得到另一半区间的所有根，从而得到整个方程的所有实根。

为了确定根的大概位置，为点序列{xn}做准备，一般先计算f(x)的一阶导数和二阶导数。

由f'(x)=(x^2-1)/(1 x^2)可知，函数有两个稳定点x=1和x=-1。

由f”(x)=4x/(1 x^2)^2, f”(1)>0, f”(-1)0，最小值f(1)<0，说明在开 interval (-1,1) ，方程有个根，但是这个根我们已经确定了，就是x=0。

当x趋于负无穷大时，f(x)小于0，当x趋于正无穷大时，f(x)大于0。具体求极限的过程这里不再赘述。

可知方程有3个根，分别记为ξ1<0<ξ2。 也为它们确定了大小关系，指定 ξ1 为负根，ξ2 为正根，并且它们是互为相反数。 只求一个，另一个自然就定了。 选择求下面的正根。

因为f(2)=2-2arctan2≈-0.2140，所以ξ2在开区间(2,3)内。 这里我们还是要用到计算器取反正确函数。 不要说“那就用计算器求方程的根”，除非你真的能做到。

做一个总结：牛顿正切法的第一步，确定根的大概位置的一般步骤是：求函数的一阶导数和二阶导数； 使用一阶导数确定稳定点； 使用二阶求导法确定极值点； 根据函数趋于无穷大的极值和符号性质确定根的个数； 检查根附近点的函数符号属性； 确定根的大致位置。

然后开始第二步，先明确根所在区间的单调性和凸性。 显然，在(2,3)上，这个函数的一阶导数大于0，单调递增，二阶导数也大于0，向下凸。 属于牛顿正切法求点序列的第二种情况，如下图所示：（注意这个图像不是f(x)图像的一部分）

在这种情况下， 你需要从右边开始找点。 即由点(3,0.502)画出的切线与x轴相交于点x1，得到x1约等于2.373。 第一点通常不符合精度要求。

继续从x点作切线与x轴相交于x2点，发现x2约等于2.331。 一般情况下，该点可能满足精度要求。 此时，您有两个选择。

按照老黄提供的方法，就是重复上面的步骤，继续求x3，发现x3约等于2.331。 显然，2.331 是精确到 0.001 的方程的近似根。

按照牛顿正切法的一般步骤，第三步检查x2或x3的误差是否满足精度要求。 就是求导数f'(x)在[2,3]上的最小值，结果约为0.6。 然后用x2的函数值的绝对值除以这个最小值，结果约为0.00013，远小于0.001，说明x2的误差满足精度要求。 所以 2.331 是精确到 0.001 的方程的近似根。

方法有两种，喜欢哪种就用哪种。 老黄自然更喜欢用自己的办法。 但是你更应该相信牛顿正切法的权威性。

写到这里，老黄突然发现自己的方法不准确。 老黄决定以后放弃这种方法。 老黄之所以不在这篇文章中，是放弃了。 我想告诉大家，在数学研究中尴尬是很正常的。 哪里有错误，哪里就会有真理。 至于为什么老黄的方法不严谨，因为有可能会出现x1和x2相差很小，而x2和x3相差变大的情况。

最后，由奇函数的性质可知，方程的另一项约等于-2.331。

函数f(x)的图像为 如下。

最后以图片的形式展示整题的解题过程如下：

多找几道题练习一下，你肯定会喜欢这种 该方法方程的近似根。