许兴华数学（东方IC图）

这几天，一个高中生问了我这样一道数学题：

(1)求函数y=(x 6)/[(x-5)(x 1)]的取值范围。

将这个问题推广，我们得到如下问题：

(2)设a、b、c为不同的实数常数，求函数y=(x-c)/[(x-a)(x-b)]的取值范围。

函数 取值范围的方法称为“判别法”。 在使用这种方法的过程中，稍有疏忽，就会导致功能范围不全或不纯。

从上面两个例子我们可以看出：对于上面(*)形式的函数，如果分母g(x)是一个二次函数，对于任意实数x，g(x)总是 非零，那么，上面的“判别式”解是没有问题的。 关键是检查两个端点的值。 但是，我们来看下面的例子3。

由于上述问题的出现，一些中学数学老师认为，如果公式(*)的函数在实数中没有定义 设R，不宜用判别法求解，否则会出错。 真的是这样吗？

对于文章开头提出的问题（2），我们现在用“判别法”和“双勾函数法”来比较两种解法得出的结论。

【方法一】用“判别法”：如果y=0，则x=c； 如果y不等于0，则

【方法二】使用“双勾函数法”，即转化为f(x)=x(a/x),(a >0)求解：

从以上两种方法的比较来看，使用“判别法”求解的答案也是正确的。

[思考1]在使用“判别法评价极差”时，为什么要讨论二次项系数为零的情况？

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当二次项的系数为零时，方程不再是二次方程，完全没有判别式。 因此，在使用判别法求函数的取值范围时，必须考虑二次项的系数dy—a=0，即

也就是说，这样的a X的自然定义域（使函数的解析式有意义）的值集），当分子和分母没有公因子时，判别法仍然适用。

当分数函数的域不是自然域时，即使分子和分母没有公因子，也不能用判别式计算值域。 也可以考虑其他的方法，比如根据方程在自变量约束下有实根的充要条件就是一元二次方程的实根分布理论。

利用数学软件“几何画板”可以验证答案的正确性（见上图）。