内容概要

函数的周期性和对称性是高考的重要考点，但学生容易混淆一些常见的结论。 有什么好的方法来区分它们吗？ 羊毛布？ 看看下面这道题，2016年山东高考真题，大家就能看懂了！

(山东2016)已知函数f(x)的定义域为R。当x<0时，f(x)=

； 当

什么时候，

什么时候

当，

.然后

=（ ）

A.-2 B.-1

C.0 D .2

分析：

题目中有4个条件，是定义域； x<0时的解析式；

时的函数属性； 以及

时函数的性质。 通过这四个条件，我们可以看出，最优先考虑的是后两个函数性质，一个是函数的奇偶性，另一个是函数的周期性（这个性质很容易和函数的对称性混淆） 函数，后面小数老师给大家讲解）。 通过两个属性的转换，答案就可以解决了。

解

因为当

,

,所以f(x 1)=f(x),周期T可以是 获得=1； 所以f(6)=f(1)【这里得不到f(6)=f(0)，这是因为这个性质成立于

】

又因为 当

,

时，所以f(x)是奇函数，所以f(1)=-f(-1)

因为x <0 , f(x)=, 所以 f(-1)=-2; so f(6)=f(1) -f(-1)=2

所以答案选择：D

涉及知识点

函数周期性 ：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，f(x)=f(x T)总是成立，则f(x)称为周期函数，T称为周期 的这个功能。

函数对称性：函数的对称性来源于轴对称图。 如果对于任何 x，a 是常数，f(a x)=f(a-x)，则函数 f(x ) 关于直线 x=a 对称。

从定义上看并没有容易混淆的地方，但是当这些定义的变体出现在题目中的时候，同学们就晕了。 其实从关系式的定义可以看出，两个关系式中x的符号是不一样的。 这也是我们区分函数的周期性和对称性的一种方式。 我们为什么这么说？

我们可以这样想，周期性就是复制一段函数图像，相当于平移一段函数图像。 这时，根据“左加右减”，我们可以知道在x常数上加上或减去一个，得到的图像是完全一样的； 而对称性是关于一条直线的，翻转过来也是一样的，所以从直线向左或向右的任意位置具有相同的函数值。

对于这道题，当时，，令，所以，所以当t>0时，有f(t 1)=f(t)，可见f(t)是一个 周期为1的周期函数。

小数老师点评

这道题是今年山东文科试卷的第九题。 主要考察分段函数的周期性、对称性和奇偶性。 是0.6，属于中档题。 学生只要把题目和所学的知识分析一下，基本就能做到。

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