作者 | 刘扬州

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在上一篇《从复数乘法到代数基本定理——拓扑学视角下的复变分》（点击文章标题查看）中，我们回顾了复数的几何意义，具体 研究了多项式函数的特性。 本文尝试将指数函数、三角函数可视化，并建立正切函数与莫比乌斯变换之间的联系。

指数函数的几何意义是根据欧拉公式，

复变函数实际上是复平面到自身的变换。 逐点研究复变函数不是很方便，但通过直接观察复平面上网格映射前后的变化，更容易直观地掌握复平面上的变换。 所谓网格，是指分别平行于实轴和虚轴的等距直线的集合。

设置一条水平线，经过指数函数作用后变成：

这是一条通过原点的射线，与实轴的夹角为 ，即 的虚部。

如上图所示，我们将原图和指数函数的图像放在同一个复平面上，如上图所示。 根据以上分析，原图复平面上的淡蓝色水平直线映射为一条穿过原点的粉红色光线。 更进一步，我们发现指数函数将水平条带区域映射到以顶点为原点的扇形区域。 更准确的说，每一个宽度为 的水平条形区域，对应的扇形区域就是此时整个复平面：

图中 和 是水平线上的点和射线 ，分别和。 沿水平线匀速向右移动时，沿射线向无穷远移动，速度越来越快； 当它沿水平线匀速向左移动时，B沿射线逐渐接近原点，但速度越来越慢。 这显然是因为

模长函数是实数函数的一个性质。

2 竖条区域

上图已经显示了点沿竖线匀速移动时，该点为匀速 圈子运动。 即垂直线映射为一个圆，圆心在原点，半径：

然后考虑连续垂直线形成的垂直条带区域（见绿色之间的区域 下图中的线条）。 应用指数函数后，就变成了一个环形区域（见下图中粉色和大圆圈圈出的环形区域）。 其中

同理，如果将竖直的条形区域垂直划分为等间隔，则将每个小矩形区域逐个映射成一个圆形区域。

3 总结

在充分了解以上两种情况的基础上，我们最终做出一个整体的认知。 下面是一个不断-连续变化的过程：方格左边的两侧逐渐向负实轴方向压缩，然后扭抱，不断旋转； 右边在旋转的同时，离原点越来越远……

在《从复数乘法到代数基本定理——从拓扑的角度看复变》 ，我们介绍了多项式函数的黎曼曲面，它整体看起来像一个螺旋楼梯，但只需要最后一层与第一层相连。 指数函数的黎曼曲面就像一个没有尽头的螺旋楼梯，无休止地上下延伸。 我们前面的分析足以说明这个现象：每个水平的条带区域用来“包裹”一个阶梯，即复平面，这样的条带区域的个数和整数一样多（数量相同表示两者是一对一的 – 一个对应），称为可列表。

从泰勒的发展来看也是显而易见的。

由于这是一个“无穷次多项式”，而这个多项式函数的黎曼曲面在《从复数乘法到代数基本定理——从拓扑的角度看复变分》中已经讨论过，我们 用“有限逼近”“无穷大”的思想可以理解其黎曼曲面无穷无尽的迂回。

网络图片。侵删。

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Part2 正弦余弦

通过方程组很容易求解正余弦函数的指数表达式：

下面的函数图根据颜色分别对应正余弦函数，是复平面网格的映射图，注意那些“圆形”的曲线，它们是怎么形成的？

4 种圆曲线的成因

细心的读者一定会 发现这些所谓的“圆”其实并不是正圆，尤其是接近原点的闭合曲线，有可能是椭圆曲线。

正余弦函数与双曲正余弦函数的关系很容易验证：

我们将余弦函数代入，和角公式仍然有效 在复数域中，

如果我们将其固定，则双曲正弦和余弦函数被视为常数，即关于变量曲线的曲线为：

这恰好是 长半轴和短半轴分别为 和 的椭圆。

那为什么外面的椭圆看起来更接近圆形呢？ 这是由双曲正切函数的特点造成的：

也就是说，长短半轴的比值随着参数向正负无穷大趋于越来越大， 所以它在视觉上是渐近正圆。

结束

下一部分，我们将把正切函数和莫比乌斯变换可视化，并展示 两者之间的联系。 敬请关注！ 特别声明，本文中未标注的图片和动画均借助GeoGebra（https://www.geogebra.org/）实现，在此感谢。

参考资料

[1] Thristan Needham。 复数分析：可视化方法[M]． 人民邮电出版社，2009．

[2] Shabat． 复数分析导论：第 4 版。 第一卷，简单复变函数[M]． 高等教育出版社，2010.

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