一般地，对于一个函数f(x)，如果存在常数T(T≠0)，使得当x在域D中取任意值时，f(x T) = f(x)成立，则 函数f(x)称为周期函数，常数T称为函数f(x)的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在所有周期中都存在最小正数，则最小正数称为函数f(x)的最小正周期
如何正确理解 “当x在域D中取任意值时，f(xT)=f(x)成立”这个概念，首先要区分“任意”和“存在”的结论。 比如判断函数f(x)=sinx(x≠0)是否为周期函数。 我们知道f(x)=sinx(x∈R)是一个周期为2π的周期函数。 但需要注意的是，在定义域中去掉0后，当x=-2π时，f(x 2π)=f(0)就没有意义了。 所以这个函数不是周期函数， 因为有一个地方不符合要求，不符合“任意”二字。 也就是说，周期性应该是函数的整体性质，不存在部分满足周期性的函数。
在概念上进一步深挖这句话，我们可以得到一个隐含条件“如果x∈D，则必有x T∈D”。 于是我们有这样的结论：“若函数f(x)存在正周期T，则其定义域必为正无界，即自变量的值能趋于正无穷大；若函数f( x)有一个负周期T，它的定义域必须是负无界的，即自变量的取值可以趋于负无穷大。” 所以对于像y=sinx这样既有正周期又有负周期的函数，它的定义域必须能够趋于正无穷大和负无穷大。 所以在判断一个函数是否为周期函数时，可以以定义域为前提。
（1）是否所有的周期函数都必然有一个最小正周期？ 事实上，并非如此。 比如函数y=sinx(x≤0)，因为满足sin(x-2kπ) = sinx(k∈N * )，所以它有一个负循环-2kπ(k∈N *)，但是有 没有正循环，也没有最小正周期。
那么，如果把这个命题改成“所有周期为正的周期函数必定有一个最小的正周期”，是否正确呢？ 其实还是可以找到反例的，比如常值函数y=1(x∈R)，显然任何正实数都是它的正周期，但是没有最小正周期。
我们不妨更进一步，如果把命题改成“所有周期为正的非值函数的周期函数必定有一个最小的正周期”，是否正确呢？ 其实这个命题还是错误的，比如狄利克雷函数：
https://baike.baidu.com/item/Dirichlet function/951546?fr=aladdin
所有有理数都是它的周期，自然有正周期。 同时，它也是一个很值的函数，但它仍然没有最小正周期。
(2) 如果函数f(x)有一个周期T，那么kT(k 是非零整数）也一定是f(x)循环？ 这个命题很容易被新手同学误认为。 因为如果只关注像y=sinx这样既有正周期又有负周期的函数，是找不到反例的。 其实，对于上面提到的函数y=sinx(x≤0)，不难发现，如果T和kT都是它们的周期，则命题中的常数k一定是正整数。 同理，只有正周期没有负周期的函数也是如此。
三、概念的几何解释
从概念上理解，不难理解 得到一个周期函数的图像存在使得特征：如果周期T>0（T<0），函数图像上的任何一点向右（左）平移T个单位后仍然在函数图像上。 为了区分和理解，作者在类Images（图1、图2）中设计了两个函数，其实只要把周期函数的图像特征梳理一下，不难发现它们不是周期性的
至此，我们似乎已经彻底探索了周期函数的形象特征。然而，更多的同学对于周期函数的形象还停留在“重复”、“不断重复”的印象中。 那么，周期函数的形象就一定是同学们所想的“反复”、“反复”吗？ ？ 我们不妨研究这样一个函数：我们只取周期函数 f(x)=|x-2k| 的图像。 (x∈[2k-1, 2k 1], k∈N)
。 ..（其中m∈N），所以得到图3所示的函数图像。 从形象上看，似乎与“重复”、“重复”的印象不符。 两个相邻的部分不能通过平移重叠，但这确实是一个周期函数，它满足周期的定义：当x在域D中取任意值时，f(x2)=f(x)成立，所以这个它 是一个周期为2的函数。
四、概念的外延
如果定义域为R的函数f(x)和g(x)都是 周期函数，那么f(x)g(x)也一定是周期函数？ 对于这个命题，A给出如下答案：假设函数f(x)的周期为T 1 ，函数g(x)的周期为T 2 ，则f(x T 1 )=f(x) , g( x T 2 )=g(x), 所以只需取 T=[T 1 , T 2 ] （[T 1 , T 2 ] 是 T 1 和 T 2 的最小公倍数），则 f (x T) g( x T) = f (x) g (x)，所以T是函数f (x) g (x)的周期。 这样的回答，乍一看似乎有道理，但经不起推敲。 如果 T 1 和 T 2 没有最小公倍数。 例如，如果T 1 是无理数，T 2 是有理数，那么就找不到这样的周期性T。 所以这个命题实际上是一个伪命题。 同理，其他四个对两个周期函数的算术运算也是如此。
反之，如2016年上海高考试卷第18题，判断命题真假：设 f (x), g (x), h (x) 是定义域为 R 的三个函数，如果 f(x) g(x), f(x) h(x), g(x) h(x) 是 所有周期为T的函数，则f(x),g(x),h(x)是周期为T的函数。此命题为真命题，因为条件中三个函数的周期相等，所以
那么对于定义域为R的两个函数的复合函数y=f(g(x))呢？ 不难发现，如果f(x)是周期函数，而g(x)不是，那么函数y=f(g(x))不一定是周期函数； 如果g(x)是周期函数，不管f(x))是周期函数，y=f(g(x))一定是周期函数。
反之，如果 函数y=f(g(x))是周期函数，那么定义域是R中的两个函数f(x)和g(x)中至少有一个是周期函数吗？ 事实上，这仍然是一个伪命题。
