1。 定义及定义表达式
一般自变量x与因变量y之间存在如下关系：y=ax²bxc（a,b,c为常数，a≠ 0，a决定函数的开孔方向，当a>0时，开孔方向向上，当a<0时，开孔方向向下。IaI也可以决定开孔的大小，IaI越大， IaI 越小，则开口越大），则称 y 为 x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常是二次三项式。
二次函数和二次函数的三个表达式
通式：y=ax² bx c（a、b、c为常数，a≠0）
顶点公式：y= a(x-h)² k[抛物线顶点 P(h, k)
交点公式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注：在三种形式的相互转换中，有如下关系：
h=-b/2a
k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
三次函数和二次函数的图像
令二次函数y=x在 平面直角坐标系^2图像，可以看出二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质
1． 抛物线是轴对称图形。 对称轴是直线 x=-b/2a。
对称轴与抛物线的唯一交点是抛物线的顶点P。 具体地，当b=0时，抛物线的对称轴为y轴（即直线x=0）。
2. 抛物线的顶点 P 的坐标为：P(-b/2a, (4ac-b²)/4a)。 当-b/2a=0时，P在y轴上； 当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3. 二次项的系数a决定了抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下。 |a| 越大，抛物线的开口越小。
4. 一阶系数b和二阶系数a共同决定了对称轴的位置。
当a和b同号（即ab>0）时，对称轴在y轴的左边； 当a和b的符号不同时（即ab<0），对称轴在y轴的右边。
5. 常数项 c 确定抛物线和 y 轴的交点。 抛物线与 y 轴相交于 (0, c)。
6. 抛物线与x轴的交点数：
当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴的交点有2条。
当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一条交点。
当Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴不相交。 X的取值为虚数（x=-b±√b²－4ac的取反，乘以虚数i，整个公式除以2a）
5. 二次函数与一元二次方程
特别是二次函数（以下简称函数）y=ax² bx c。
当y=0时，二次函数是关于x的一元二次方程（以下简称方程），即ax² bx c=0。
此时函数图像与x轴是否相交就意味着方程是否有实根。 函数与 x 轴的交点的横坐标是方程的根。
1. 二次函数的图像 y=ax², y=a(x-h)², y=a(x-h)² k, y=ax² bx c (各种公式中，a≠0) 形状一样，只是位置 是不同的。
它们的顶点坐标和对称轴如下：
当h>0时，y=a(x-h)²的图像可以从 得到抛物线 y=ax² 单位。
当h<0时，向左平行移动|h| 单位。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²平行向右移动h个单位，再向上移动k个单位，即可得到y=a(x-h)²的图形 k大象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，然后向下移动|k| 单位得到 y=a(x-h)² k 图像。
当h0时，将抛物线向左移动|h| 单元并联，然后向上移动k个单元得到y=a(x-h)²k的图像。
当h<0，k<0时，将抛物线向左移动|h| 单元并联，然后向下移动 |k| 单位以获得 y=a(x-h)² k 大象的图形。
因此，通过研究抛物线y=ax² bx c(a≠0)的形象，可以将通式通过公式转化为y=a(x-h)² k的形式，并且 它的顶点坐标，对称轴，抛物线的大致位置就很清楚了。 这为绘制图像提供了方便。
2. 抛物线的图像y=ax² bx c(a≠0)：当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，对称轴为直线x=-b / 2a，顶点坐标为(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。
3. 抛物线y=ax² bx c(a≠0)，如果a>0，当x≤-b/2a时，y随着x的增加而减小； 当x≥-b/2a时，y随着x的增加而增加。 如果a<0，当x≤-b/2a时，y随着x的增加而增加； 当x≥-b/2a时，y随着x的增加而减小。
4. 抛物线y=ax² bx c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像必须与y轴相交，交点坐标为(0, c ) ;
(2) 当△=b^2-4ac>0时，图像与x轴相交于两点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)，其中x1 , x2 是二次方程ax² bx c=0(a≠0)的两个根。 这两点之间的距离是 AB=|x2-x1|。
当△=0时。 图像和 x 轴之间只有一个交点； 当△0时，图像落在x轴上方，当x为任意实数时，有y>0； 当a<0时，图像落在x轴以下，当x为任意实数时，y<0。
5. 抛物线的最大值y=ax² bx c：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y=(4ac-b²)/4a的最小（大）值。
顶点的横坐标为取最大值时的自变量值，顶点的纵坐标为最大值。
6. 用待定系数法求二次函数的解析式
(1)题中给出的条件是已知图像通过三个已知点或已知x，当三对对应 y的取值，解析式可定为一般形式：y=ax² bx c(a≠0)。
(2)当题目条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，可将解析式设为顶点公式：y=a(x-h)² k(a≠ 0).
(3)当题的条件是已知图像与x轴的两个交点坐标时，解析式可以设成两个公式：y=a(x-x₁)( x-x2) (a≠0)。
7. 二次函数知识可以很容易地与其他知识结合，形成更复杂的综合课题。 因此，基于二次函数知识的综合题是中考的热门题材，而且往往以大题的形式出现。
