将素数分解成音乐是黎曼猜想的数学结论。 这个数学定理的诗意描述是素数本身就有音乐，而且也是后现代音乐。

——布里斯托大学Michael Berry

Article: plus.maths.org/content/music-primes

Translator: Xiang Haifei Proofreading: Xiang Haifei

古往今来，许多人都对数学和音乐之间的相似之处发表过评论。 莱布尼茨曾说过：“音乐在下意识地数数时，给人一种愉悦的感觉”。 但两者的相似之处不仅仅在于计数方面。 音乐作品的美与最好的数学作品有很多共同之处。 在这些作品中，先是确立了主题，然后旋律激昂激昂，直到最后渐入佳境。 就像我们重新听一段音乐，发现第一次听就错过了共鸣一样，数学家也经常有这样的经历，即当他们重新阅读证明过程时，他们会注意到使作品自我的微妙之处 -持续的。

我们数学教育的误区之一，就是很少有人意识到，除了学校算术之外，还有如此精彩的数学运动等着他们去欣赏。 我们在学校花时间学习数学作曲的音阶和节拍，却没有意识到练习会将我们带到哪里。 很少有人有耐心去学钢琴，如果不体验聆听拉赫玛尼诺夫作品的乐趣。

数学中最伟大的交响曲之一是黎曼猜想 – 人类试图理解素数之谜。 每一代数学家都为此事做出了贡献，共同影响了人类对素数的理解。

每当我们尝试掌握这些神秘的素数时，音乐主题就会转变。 但这是一首未完成的交响乐。 我们仍在等待一位伟大的数学家为这部伟大的作品添加最后的和弦。

但数学和音乐不仅仅是美学上的相似。 黎曼发现音乐的物理特性是解开素数秘密的关键。 他发现了神秘的调和结构，可以解释当大自然选择素数时，高斯的素数骰子实际上是如何落地的。

高斯函数与素数的比较

黎曼在学生时代很害羞。 他宁愿在校长的图书馆看数学书，也不愿意出去和同学们玩。 在此期间，他第一次了解到高斯关于素数分布规律的猜想。 建立在素数骰子的思想之上，高斯给出了一个叫做对数积分的函数，这个函数似乎可以很好地估计素数的分布。 上图显示了此函数与最多 100 个素数的数量的比较。

高斯的猜想基于掷骰子。 骰子的一面标有“素数”，另一面是空白的。 骰子的面数随着检验值的增加而增加，高斯发现对数积分函数可以给出骰子的面数。 例如，要测试 1000 左右的素数，需要六面骰子。 为了猜测素数的个数，高斯假设掷出带有素数的 6 面骰子的概率为 1/6。 但是 6,000 次掷骰子当然不可能恰好出现 1,000 张素面。 一个公平的骰子允许高于或低于这个概率值。 但是有没有办法理解高斯理论猜想和素数骰子落地的方式呢？ 33 岁的黎曼当时在哥廷根工作，他发现可以用音乐来解释如何将高斯图变成梯形图，从而真正测量素数。

形与声

理解黎曼思想的关键是理解音叉、小提琴、单簧管等乐器演奏的同一个音符A为什么听起来不一样。 有明显的区别。 音叉的声波图看起来像一个完美的正弦波。 相比之下，在小提琴上演奏的同一音符的声音模式看起来像锯齿波。 大家可以在文末【了解更多】链接的视频中对比音叉、小提琴、单簧管演奏A音的声音和波形。

小提琴和音叉的外观和音色不同。 小提琴在演奏时，不仅产生单音A，还包含其他不同频率的成分，称为泛音。 每个合理弦长的正弦波对应一个额外的音符。 每个泛音比根音振动得更快，这意味着泛音听起来比根音更尖锐。 随着频率的增加，每个谐波变得更安静，即其对应的正弦波的幅度减小。

将这些额外的谐波添加到音叉波形中，看看正弦波形如何变成小提琴的锯齿波形。 看看下面的动画，看看前五个谐波如何组合形成小提琴的声音波形。

与小提琴的声音不同，单簧管的声音是在城墙上的大炮形状中用方波形状来描述的。 与小提琴尖锐的音色相比，它的声音更接近于低沉的音色。 正如小提琴的特征音是由附加泛音组成的一样，单簧管的声音是由同时演奏一组不同频率的正弦波形成的。 这些正弦波必须对应于单端单簧管的长度。 因此，单簧管的谐波序列与小提琴的谐波序列不同。

将所有的谐波波形加起来，可以看出单簧管的方波形状是从音叉的A音的基波中推导出来的。 使用下图了解前五个谐波如何组合形成单簧管的声音波形。

黎曼谐波

黎曼发现高斯的对数积分函数图像就像乐器的根音，但是有一些特定的谐波，一旦加到图像上， 它将逐渐成为质数的真实图像或“声音”。 就像单簧管的泛音加到正弦波上形成方波一样。

黎曼发现的一些一次谐波

下面的动画展示了添加前100次谐波的效果。 每增加一次谐波，原本平滑的图形就会变得更加扭曲。 黎曼意识到，当添加无限次谐波时，生成的图像将与素函数的阶梯形状完全匹配。

黎曼谐波的影响

（待续）