泛函分析是现代数学的一个分支，是研究拓扑线性空间与满足各种拓扑和代数条件的拓扑线性空间之间映射的子学科。 泛函分析是从研究函数的变换（如傅里叶变换等）的性质和研究微分方程和积分方程发展而来的。 泛函作为表示的使用来自变分方法，它表示作用于函数的函数。 巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，数学家和物理学家沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用做出了重要贡献。

函数分析形成于 1930 年代。 它从变分法、微分方程、积分方程、函数论和量子物理学的研究发展而来，运用几何和代数的观点和方法来研究分析的主题，可视为无限维分析。 半个多世纪以来，它一方面不断地从许多其他学科提供的资料中提炼出自己的研究对象和一些研究方法，形成了自己的许多重要分支，如算子谱理论、巴拿赫代数、 拓扑线性空间（又称拓扑向量空间）理论、广义函数理论等； 另一方面，它也有力地促进了许多其他分析学科的发展。 它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理学、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要应用。 具有四个自由度的物理系统的重要且自然的工具之一。 今天，它的观点和方法已经渗透到许多工程技术学科中，成为现代分析的基础之一。

泛函分析的特点是它既概括了经典分析的基本概念和方法，又将这些概念和方法几何化。 例如，不同类型的函数可以看作是一个“函数空间”的点或向量，这就引出了“抽象空间”的一般概念。 它既包含前面讨论的几何对象，也包含不同的功能空间。

泛函分析是研究现代物理学的有力工具。 n维空间可以用来描述具有n个自由度的机械系统的运动。 事实上，需要新的数学工具来描述具有无限自由度的机械系统。 例如，梁的振动问题是具有无限自由度的机械系统的示例。 一般来说，从粒子力学过渡到连续介质力学，需要从有限自由度系统过渡到无限自由度系统。 现代物理学中的量子场论属于无限自由度系统。

正如有限自由度系统的研究需要n维空间的几何和微积分作为工具一样，无限自由度系统的研究需要无限维空间的几何和分析 ，这是泛函分析内容的基础。 传统上，泛函分析也可以通俗地称为无限维空间的几何和微积分。 经典分析中的基本方法，即用线性对象逼近非线性对象，完全可以应用到泛函分析学科中。

泛函分析是分析数学中最年轻的一个分支。 它是经典分析的延伸。 它综合了函数、几何和代数来研究无限维向量空间上的函数和算子。 , 和极限理论。 它在20世纪40年代和50年代成为一门理论完整、内容丰富的数学学科。