对于我们许多人来说，正交性的第一个概念与几何中的垂直性有关。 两个正交向量彼此成直角（90 度）。 基本的东西，对吧？

在这篇文章中，我们探讨了所有高等微积分中最巧妙的想法之一：将正交性概念推广到函数，以及由此概念产生的后续级数展开，也称为广义 傅里叶级数。

让我们开始吧！

在我们深入研究正交函数的复杂性之前，让我们花点时间提醒自己向量分析的基础知识。

考虑三维空间中的两个向量。

是三个基向量。

向量 ||A|| 的长度，也称为范数，可以计算为：

我们将 A 和 B 的内积定义为

其中θ为两个向量之间的夹角，如上图所示。

当两个向量正交（垂直）时，它们的内积将始终为零，因为 cos(90⁰) = 0。

当每个向量与所有其他向量正交（垂直）时，我们将一组 n 个向量称为正交集。 此外，如果集合中向量的所有范数（长度）都等于 1，则称该集合是正交的。

例如，集合 {i, j, k} = { , , } 是正交集，因为

好了，修改完毕。 是时候看看我们如何将正交性的概念扩展到函数了。

正交函数

考虑一个函数 A(x)，a ≤ x ≤ b。

查看 A(x) 的一种方法是将其视为无限向量，而不是像以前那样将其视为三个分量。 每个组件由特定 xE(a, b) 值处的 A(x) 值指定。

建立了这个类比——函数是一个具有无限分量的向量——我们现在可以将向量分析中的所有概念应用于函数。

首先，我们看到向量的范数是其分量的所有平方和的平方根。 将这个概念扩展到函数，我们可以定义函数的范数如下。

注意上述定义与向量范数定义的相似之处。 唯一的区别是我们使用积分而不是求和——这是求和的极限——因为我们现在处理的是无限分量。

以此类推，我们定义两个函数A(x)和B(x)的内积如下。

再次，花点时间自己理解为什么这个定义有意义。 在向量分析中，两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和。 上面的公式封装了这个定义，并通过用积分代替求和将其扩展到函数。

类比推广，A(x)和B(x)正交的条件定义为

最后，如果所有函数都与所有其他函数正交，则一组函数是正交的。 此外，如果函数的范数等于 1，则该集合称为正交集。

给定一组 {fₙ(x)} 正交函数然后

最后，注意正交但非正交的集合 { fₙ( x) }可以通过将集合的每个函数除以其范数||fₙ||来转换为正交集。

权重函数

我们可以通过权重函数的概念 引入进一步扩展上述定义。

我们之前给出的一组函数 {fₙ(x)} 的正交性定义是我们现在考虑的概念的一个特例。 如果

现在写出一个函数的范数

，我们说一个集合相对于权重函数 r(x) > 0 是正交的 很容易注意到，当 r(x) = 1 时，会出现“正常”类型的正交性。

正交函数级数

大多数学生都会回想起他们在第一节微积分课上遇到的泰勒级数，根据该级数，函数表示为无限加权多项式。

事实证明，我们可以用正交函数的无限线性组合（或级数）来表示给定的函数。

考虑集合 { gₙ(x), nEN} ， a ≤ x ≤ b ，正交于权重函数 r(x)。 然后，对于给定的函数 f(x) 我们可以写成

注意：我们假设系列一为 收敛

我们现在唯一要做的就是找到系数 Cₙ。

为了找到这些常数，我们将两边都乘以 r(x)gₘ(x) 并在区间 [a,b] 上逐项积分。 这导致

现在，回想一下正交性属性，根据该属性，级数中的所有项都为零，除非 n = m。 因此：

求解 Cₙ 我们得到

f(x) 的这种表示称为正交级数或广义化 傅里叶级数。 系数 Cₙ 称为傅里叶系数。

注意对于角频率Ω的周期函数的傅里叶级数，求积函数是复指数

最后评论

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这是数学上一个非常重要的结果。 广义傅里叶级数对于将函数分解为更简单的函数和很有用。 这种技术帮助我们解决了物理、数学和工程等多个领域的大量问题。

但是，还有一个问题。 我们实际上如何找到这些正交函数集？ 为了回答这个问题，我们必须研究一类特殊的问题，称为Sturm-Liouville问题，它在微分方程领域具有重要意义。 但那是另一个故事……