为了讨论导数的存在性，人们多次使用连续函数的概念，但仅限于对连续函数的直观描述，无法给出确切的定义。 现在，我们用极限的语言来定义连续函数，首先用极限的语言来直观地描述函数的连续性，如果一个函数f(x)在x0点连续 , 然后, 对于任何收敛于 x0 的序列 {xn}, 令 yn=f(xn) 和 y0=f(x0), 那么当序列 {xn} 收敛到 x0，函数值序列 {yn}也收敛到函数值y0。 如果我们把这个描述给一个一般的符号表达式，我们可以得到如下定义：
称函数f(x)在x0点连续， 若对于任意ε>0，存在δ>0，则均满足
|x-x0|<δ的x有|f(x)-f(x0)|<ε,表示为lim(x→x 0)。 如果函数在区间 [a,b] 上的每个点都是连续的，则称该函数在区间 [a,b] 上连续。
可见，利用符号表达式，我们可以严格判断函数的连续性。 如果要检验二次函数f(x)=x2的连续性，根据上面的规则，先固定一个点比如x0=2， 那么 f(x0)=4。 因为对于任意给定的ε>0，令δ为小于ε/5的正数，那么对于所有接近(1,3)的x，只要|x-2|<δ，就一定有|f(x) -4|<ε，根据定义函数f(x)=x2 在x0=2 处连续。 因为这个方法可以应用于任何一点，所以函数 f(x)=x2 在整条数轴上都是连续的。
我们通过数的变化来讨论函数的连续性，这涉及到数本身的连续性，否则很难表达甚至想象一个变量是如何逼近给定常数的，很难表达也很难 很难理解符号 x→x0 的含义。 那么，现在有一个更本质的问题：数轴上有哪些数字？ 这些数字是连续的吗？ 如何表示这些数字？
这个问题我们会在以后的《实数论的建立》中讨论。
为了讨论导数的存在性，人们多次使用连续函数的概念，但都局限于对连续函数的直观描述，无法给出确切的定义。 现在，我们用极限的语言来定义连续函数，首先用极限的语言来直观地描述函数的连续性，如果一个函数f(x)在x0点连续 , 然后, 对于任何收敛于 x0 的序列 {xn}, 令 yn=f(xn) 和 y0=f(x0), 那么当序列 {xn} 收敛到 x0，函数值序列 {yn}也收敛到函数值y0。 如果我们将这种描述赋予一个一般的符号表达式，我们可以得到如下定义：
称函数f(x)在x0点连续， 若对于任意ε>0，存在δ>0，则所有x满足
|x-x0|<δ有|f(x)-f(x 0)|<ε，表示为lim(x→x0)。 如果函数在区间 [a,b] 上的每个点都是连续的，则称该函数在区间 [a,b] 上连续。
可见，利用符号表达式，我们可以严格判断函数的连续性。 如果要检验二次函数f(x)=x2的连续性，根据上面的规则，先固定一个点比如x0=2， 那么 f(x0)=4。 因为对于任意给定的ε>0，令δ为小于ε/5的正数，那么对于所有接近(1,3)的x，只要|x-2|<δ，就一定有|f(x) -4|<ε，根据定义函数f(x)=x2 在x0=2 处连续。 因为这个方法可以应用于任何一点，所以函数 f(x)=x2 在整条数轴上都是连续的。
我们通过数的变化来讨论函数的连续性，这涉及到数本身的连续性，否则很难表达甚至想象一个变量是如何逼近给定常数的。 很难表达和理解符号 x→x0 的含义。 那么，现在有一个更本质的问题：数轴上有哪些数字？ 这些数字是连续的吗？ 如何表示这些数字？
这个问题我们会在以后的《实数论的建立》中讨论。
