还记得在函数概念的发展过程中，一种解释是曲线吗？ 在17世纪，当对函数概念的理解还处于迷雾阶段时，函数被当作曲线来研究。 因此，后来被称为函数概念的几何起源。 而且通过各种类型的曲线引入了各种类型的函数，例如笛卡尔对几何曲线和力学曲线的区分，代数函数和超越函数的区分等等。 可以说，从函数的诞生到函数的发展和应用，函数与几何是密不可分的。

函数与几何的密切关系是函数的形象表示。 有了它，就可以建立几何属性和函数属性之间的联系，比如一条曲线的“上升”和“下降”，对应着函数的“增加”和“减少”。 沿着这个思路，我们来说说另一个函数图像特征——凸凹。

图 1 是二次函数的图像。 如果你在图像上任意选择两个点组成一条线段，你会发现无论你如何选择这两个点，线段都在对应的两个点所连接的点上。 在函数图上方。

图1

这种具有“凸”图像特征的函数称为凸函数。 凸函数包括凸函数和凸函数，它的形象叫做凸曲线。 从几何学的角度来看，向下凸曲线的任何弧线都不在该弧线的对弦之上； 向上凸曲线的任何弧线都不低于与该弧线相对的弦线。

当然，作为一个数学概念，不可能只有图像特征作为符号，必须有严格的定义。 凸函数的数学定义如下：

假设函数f(x)定义在某个区间I上，对于任意任意任意，都有一个常数，则y=f(x)称为向下凸函数（如图2所示） . 如果是常量，则称为

凸函数（如图3所示）。

图2

图3

在图2和图3中，分别找到了两个常用的函数：指数函数和对数函数，这两个函数 分别是凸函数和凸函数，通过分析图像上任意两点连接的线段上一点的横坐标和纵坐标，以及函数图像上与横坐标相同的点的纵坐标 这点，结合图像，我们可以看到两个纵坐标的大小关系，可以直观地反映出定义中不等式的大小关系的含义。

从图2和图3可以看出，凸函数和凸函数的两种定义，用数学语言表达就是字符串AB上的任意一点在曲线上方（或下方）这 事实。 这也体现了数学定义的严谨性和与几何直觉的一致性。

我们熟悉的函数中，幂函数，x>0，α>0，当α>1时，是向下凸函数，当0<α<1时，是向上凸函数 凸函数。 让我们详细看看几个幂函数的图形。

继续考虑二次函数。 根据凸函数的定义，可以得到

对任意一个常数。

拿来的话，可以得到这样的不等式

。

取之则得不等式

这就是著名的均值不等式。

当我们知道更多的函数时，我们可以找到更多的凸函数，那么借助于凸函数的性质，我们也可以得到更多的不等式！

很多不等式可以从凸函数得到。 反之，如何判断一个函数是否凸？

通常有三种方法：

第一种是利用定义来判断函数是否满足凸函数定义中的不等式要求。 当然，这有点复杂。

其次，还可以用高等数学中微积分的方法来判断一个函数是否是凸函数。 当然，这需要更多的微积分知识。

第三，利用信息技术制作函数图像，通过观察图像是否满足凸曲线的特征来判断函数是否为凸函数。 这个方法虽然不够严谨，但也是一个方法Bar。

凸函数广泛应用于高等数学和数学竞赛中。 它是描述函数单调后函数变化规律的一个非常重要的性质。 通俗地说，单调性反映了函数的变化方向，而凹凸反映了函数变化的速度。 与单调性类似，凹凸也可以局部体现。 例如，有些函数在定义域内不是凸函数或凹函数，而是在一定区间内是凸函数或凸函数。 通过定义域不同子集上函数单调性的变化，我们可以引入极值的概念并将其应用到更多的函数研究中，相应地利用定义域不同子集上函数凹凸性的变化，我们也可以学习 许多函数的有用属性。

除了利用函数的凹凸性得到不等式外，还可以利用函数的性质来画函数图像。 举个例子，我们一起来看一个函数。

图 6

这是一个普通四次函数的部分图像。 图像上从A点到D点，函数单调递减。 看来功能没什么特别的[王容1]。 但如果我们放大图6，意识到凹凸也是特征函数的一个性质，就会发现这一段的函数变化规律并不完全一致。 根据凸函数的定义结合对图像的观察，函数在AB截面为凸，在CD截面为凸。 有了单调性和凸性，我们可以更好地理解函数。 如果你有兴趣，不妨多画一些函数的图，分析一下函数的性质。

同样，我们对函数的性质了解得越多，我们自己解决问题和研究时绘制的函数图像就越准确，也就越能表现函数的特性。 除了单调性和凹凸性，在绘制函数图时，还有一个非常重要的“点”——拐点，以及一个非常有用的“线”——渐近线。 但他们的理解需要衍生品的知识。 有兴趣的可以深入研究探索。

数学的魅力之一在于它的关联性，即数学是一个整体，它具有与生俱来的统一美。 就像这里一样，曲线的几何特征隐含了很多函数属性； 你知道的函数性质越多，你就可以了解更多关于从函数到不等式的各种曲线。