这两天，高一新生开始学习高中数学必修课第3章“函数的概念与性质”。 内容包括大家熟悉的单调性、奇偶性、最大值等。
如果你问一个新高中生什么是函数，他会告诉你函数，反比函数，二次函数等等都是函数，继续问，也许他会告诉你 那一个函数就是变量之间的函数 比如天气热的时候，冰淇淋的销量也会增加。 这就是“变量论”。 初中学习具体的函数，关注的是变量之间的依赖关系，函数的概念要看实际背景。
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初中和高中对函数的定义本质上是一样的。 两个函数的定义都会涉及到变量的作用域，对应关系本质上也是一样的，只是描述的出发点不同。 初中从运动变化的角度出发，将自变量x的每一个值对应唯一确定的函数值y来实际确定一个对应关系； 高中从集合和对应的角度出发，这里的对应关系就是两个集合之间的关系 实数之间的对应关系。 从历史的角度来看，初中的函数来自于物理公式。 初始函数等同于解析公式。 后来，人们逐渐意识到定义域和取值范围的重要性。 为了弄清变量以及两个变量之间的关系，往往需要弄清楚每个变量的物理意义，这给研究带来了不必要的限制。 有些函数如果仅仅从变量的角度是很难解释的，比如f(x)=1，当x是有理数时，f(x)=0，当x是无理数时，会很 这样的函数从变量的角度很难解释，也没有物理意义，但是从集合对应的角度解释就很自然了。 高中的函数定义比较笼统。 其实初中的时候函数已经渗透了集合对应的概念。 因为用变量的观点来描述函数更形象、更直观，所以“变量论”的定义在初中时仍然被广泛使用。
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初中和高中对函数的定义本质上是一样的。 两个函数的定义都会涉及到变量的作用域，对应关系本质上也是一样的，只是描述的出发点不同。 初中从运动变化的角度出发，将自变量x的每一个值对应唯一确定的函数值y来实际确定一个对应关系； 高中从集合和对应的角度出发，这里的对应关系就是两个集合之间的关系 实数之间的对应关系。 从历史的角度来看，初中的函数来自于物理公式。 初始函数等同于解析公式。 后来，人们逐渐意识到定义域和取值范围的重要性。 为了弄清变量以及两个变量之间的关系，往往需要弄清楚每个变量的物理意义，这给研究带来了不必要的限制。 有些函数如果仅仅从变量的角度是很难解释的，比如f(x)=1，当x是有理数时，f(x)=0，当x是无理数时，会很 这样的函数从变量的角度很难解释，也没有物理意义，但是从集合对应的角度解释就很自然了。 高中的函数定义比较笼统。 其实初中的时候函数已经渗透了集合对应的概念。 因为用变量的观点来描述函数更形象、更直观，所以“变量论”的定义在初中时仍然被广泛使用。
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初中和高中对函数的定义本质上是一样的。 两个函数的定义都会涉及到变量的作用域，对应关系本质上也是一样的，只是描述的出发点不同。 初中从运动变化的角度出发，将自变量x的每一个值对应唯一确定的函数值y来实际确定一个对应关系； 高中从集合和对应的角度出发，这里的对应关系就是两个集合之间的关系 实数之间的对应关系。 从历史的角度来看，初中的函数来自于物理公式。 初始函数等同于解析公式。 后来，人们逐渐意识到定义域和取值范围的重要性。 为了弄清变量以及两个变量之间的关系，往往需要弄清楚每个变量的物理意义，这给研究带来了不必要的限制。 有些函数如果仅仅从变量的角度是很难解释的，比如f(x)=1，当x是有理数时，f(x)=0，当x是无理数时，会很 这样的函数从变量的角度很难解释，也没有物理意义，但是从集合对应的角度解释就很自然了。 高中的函数定义比较笼统。 其实初中的时候函数已经渗透了集合对应的概念。 因为用变量的观点来描述函数更形象、更直观，所以“变量论”的定义在初中时仍然被广泛使用。
