#头条创作战斗#

连续函数在闭区间上有一些众所周知的性质，如中值定理、零点存在定理、最大值定理和一致连续性定理等。但是 ，闭区间上连续函数的性质远不止这些。 只是因为有些性质太不方便描述，所以没有口口相传的定理。

比如老黄接下来要分享的性质，就很难用一般的语言来形容。 其中提到闭区间上任意点序列（参数点序列）对应的函数点序列收敛于A，那么这个闭区间上必然有一个点，使得这个点的函数值等于A。虽然 勉强可以表达，很难形成结论性很强的定理。

下面老黄就为大家证明这个性质，需要应用到函数极限的解析原理中。

证明：令 f 在 [a,b] 上连续，若 {xn}⊂[a,b]，且 lim(n→∞)f(xn)=A，则必有一点 x0∈[a,b]，使得f(x0)=A。

证明：∵{xn}⊂[a,b]是有界的，∴{xn}有 一个收敛的子序列{x_(nk)}，【这是紧性定理，有界序列一定有一个收敛的子序列】

假设 lim(k→∞) x_(nk)=x0。 【存在一个收敛到x0的收敛子序列，也就是分解原理定理中的x0，也是我们要找的点】

∵{x_(nk)}⊂[ a,b],∴x0∈[a,b]。 [闭区间内的收敛点序列必须收敛于闭区间内的一点。 这实际上需要证明。 任意取区间外的一个点，分为区间左侧和右侧两种情况。 如果在左边，这个点到左端点的距离在半径的邻域之外，最多是点列的一个点，所以不能是点列的累加点，也不能 是点行的极限]

又是lim(n→∞)f(xn)=A。 ∴lim(k→∞)f(x_(nk))=A。 [函数序列收敛于A，则其任意子序列收敛于A]

∵f在x0处连续，∴lim(x→x0 )f(x)=f(x0) ,【函数在一点连续的充要条件】

由分解原理：A=lim(k→∞)f(x_(nk))=lim(x→x0 )f(x)=f(x0)。 所有列均以A为极限，满足分解原理的充要条件。 因此函数在x0处收敛于A，等价代入证明f(x0)=A]

解析原理是很多初学者的原理，数的朋友很难理解的一个定理 ，指的是函数的定义域，函数在x0处存在极限的充要条件是任意点序列（任意变点序列）收敛到一个点x0，对应的函数序列 也收敛于同一点。

如果一个性质不能用高度泛化的语言形成定理，就很难掌握。 如果把这个性质概括为：闭区间上的连续函数的函数序列收敛于一个点的函数值。 话虽如此，你怎么看？