制作函数图的一般步骤：

1. 找到函数的域； 2.检查函数的奇偶性和周期性； 3、求函数一些特殊的点，比如两个坐标轴的交点、不连续的点、不导电的点等； 4、确定函数的单调区间、极值点、凸区间和拐点； 5.检查渐近线； 6、画出函数的图形。

因为老黄最近一直在探索构图函数图的内容，所以他最近作品的开头都是一模一样的，都是复习构图函数图的通用步骤，因为这个通用步骤也是构图函数图的基础 文本。

这次要做的图像是小数函数f(x)=x^3/(2(1 x)^2)。

按照函数作图的一般步骤，作f(x)=x^3/(2(1 x)^2)的图像。

分析 : function 在x=-1处没有定义，所以函数的定义域是x≠-1，或者(-∞,-1)U(-1, ∞), both 两种表达形式都是允许的。 此外，该函数既没有奇偶性也没有周期性。 但是很容易发现函数是通过原点的。

求导可得f'(x)=x^2(3 x)/(2(1 x)^3)=0，函数有两个稳定点x=0和x=-3。 而f'(x)的符号性质由(3 x)与(1 x)的商决定，所以，在(-∞,-3)U(-1,∞)处，f'(x)> 0，函数单调递增； 在 (-3,-1) 处，f'(x)<0，函数单调递减。

由极值的第一个充分条件可知，x=-3为函数的最大值点，最大值f(-3)=-27/8。 但是x=-1不是函数的极值点，因为函数没有定义在x=-1处。

继续求二阶导数，可以得到f”(x)=6x/(2(1 x)^4)，可见当x<0时，f"(x )0，f”(x)>0时，曲线呈凸（凹）状。而f在x=0处连续，故f有一个拐点（0,0）。

Don 不是以为不是极值点的驻点就是拐点吗，误以为不需要求二阶导数。只有这个命题，才能确定(0,0)是 拐点。首先，不是极值点的驻点不一定是拐点；其次，计算二阶导数不仅可以确定函数的凸性区间，还可以检查函数是否有其他拐点

最后讨论一下渐近线的问题，让最简单的分数函数的分母等于0的点，x=-1，就会形成曲线的垂直渐近线。注意这个 定理一般只对最简单的分数函数有效，如果分子中还有其他函数，比如三角函数 tions, 自然对数函数等等，x=-1可能使分子等于0，两个0不能减，所以要求在趋于-1的时候达到函数的极限。 只有当极限为无穷大时，x=-1才是函数Vertical asymptote的极限。

假设曲线也有斜渐近线y=ax b，则

a =lim(x->∞)(f(x)/ x)=lim(x->∞)(x^2/(2(1 x)^2))=1/2。

b=lim(x->∞)(f(x )-ax)=lim(x->∞)((-2x^2-x)/(2(1 x)^2)=-1.

所以曲线有一个渐近线 y= x/2-1。

归纳函数图像的行为如表所示：

图像的 功能如图：

画的图不是很精确，因为手画精确的图很麻烦，大家不妨也可以手画一张，这样会 对提高使用函数属性绘制函数图像的能力有很大帮助。