老黄学高数学系列视频第210讲讲的是画函数图的一般步骤。 为了巩固这方面的知识，老黄举了一些各种函数的例子，加强画函数图像的能力。 这次 Huang 选择了一个带部首的函数。 它的图像还是可以通过画图像的一般步骤来解决。

制作函数图像的一般步骤： 1.确定函数的定义域； 2.检查函数的奇偶性和周期性； 3、找到函数的一些特殊点，比如合并两个坐标轴的交点、不连续点、不可微分点等； 4、确定函数的单调区间、极值点、凸区间和拐点； 5.调查渐近线； 6. 绘制函数图像。

练习：按照函数作图的一般步骤，画出f(x)=(x-1)x^(2/3)的图像。

请自己按照上述一般步骤绘制此函数的图形。

分析：首先观察函数的域。 显然，这个函数是在R中定义的，没有不连续点。 如果你有足够的经验，你可以判断函数有一个不可微分点x=0，因为求导后发现在x=0处没有定义导数。

当f(x)=0时，可以直接得到函数x=1和x=0的两个零点。 表明曲线通过原点，与x轴(1,0)又有一个交点。 这些都是非常重要的特殊点，是绘制函数图像的基本依据，可以先在坐标系中标注这些点。

当x不等于0时，函数的导数为f'(x)=x^(2/3) 2(x-1)x^(-1/3)/3=(5x- 2)x ^(-1/3)/3，当f'(x)=0时，函数x=2/5有唯一稳定点。

由式可知 f'(x) 的符号性质，当 x2/5 时，函数单调递增； 当0<x<2/5时，函数单调递减。 由极值第一充分条件也可知，函数有最大值点(0, 0)，和最小值点(2/5, -3乘以平方根号20 /25)。

求函数f”(x)=2x^(-1/3 )/3 2x^(-1/3/3)-2(x-1)x^(-4 /3)/9=(5x 1)x^(-4/3)/9，由二阶函数可知，当x-1/5时，曲线是凸的，即凹的。

函数在x=- 1/5是连续的，所以（-1/5，-6次根号 5/25)是函数唯一的拐点。

最后，函数没有渐近线。

根据上面推导的信息，函数图像的行为 罗列如下：

可以看出函数在R上有3个关键点，1个拐点x=-1/5，1个最大值点x=0和1个最小值点x =2/5。 这三个关键点将函数的图像划分为四个区间。 在最左边的区间，函数是单调递增且凸的； 在第二个区间，函数单调递增，向下凸； 第三区间，函数单调递减，向下凸； 最右边区间，函数单调递增，向下凸。

综上，画出的函数形象如图：

是否符合 你画的图？