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从初中开始，我们就接触到了三角函数。 初中的时候，三角函数是用直角三角形来定义的。 直角三角形中锐角的对边与斜边之比为角的正弦，余弦定义为角的邻边与斜边之比。

初中的定义使得我们对三角函数的研究停留在锐角的范围内。 高中时，我们用单位圆和有向线段将三角函数的定义域扩展到任意实数。 这样，三角函数就变成了实数R对实数R的函数。

但是，如果你真的在中学阶段去看上面两个定义，你会发现上面两个定义都离不开“画图”，看图说话的方式全凭人的感觉—— 视觉，它不是以数学上严格的方式。 再深入一点，单位圆和有向线段定义三角函数的方式需要把角度的大小对应为实数，而实数对应的方式，要么用a的面积 某个扇区，或者用圆弧长上某个圆弧的面积。 但是，你在圆上截取的这部分扇区的面积，或者说那段弧的弧长存在的原因是什么？ 哦，你会说是我画的，你看，就占了一个地方，或者就占了一个长度——我相信是对的，但是这个原因还是感性的，而不是数理逻辑上的。

如果是这样，按照数学的严密逻辑应该怎么办。 我们可以完全按照公理和逻辑从自然数论（自然数的相关理论可以用ZFC或Peano公理推导出来）发展出有理数论，进而发展出实数论。 基于实数完备性公理，发展了极限论、微积分论，进而发展了级数和微分方程论。 这些基础只能靠公理系统和形式逻辑，不能靠感觉。 所以本文用这些理论来定义三角函数，颠覆了三角函数的本质。 ——本文将使用无穷级数来定义三角函数。 使用无限级数或微分方程也是迄今为止严格定义三角函数的最佳方法。