高等数学的研究对象是函数，而连续函数是最重要的一类函数。 可以说，高等数学主要研究连续函数的各种性质，包括导数、微分和积分等。了解函数概念发展的简史，对我们学习高等数学有很大的帮助。
函数的概念是随着数学的发展而发展起来的。 在发展过程中，不断地从具体到抽象，从特殊到一般，最终得到严谨、精确的表达。 从广义上讲，功能概念分为经典功能概念和现代功能概念。 这两个函数概念本质上是一样的，只是考虑问题的出发点不同。 经典函数的概念是从运动变化的角度出发的，而现代函数的概念是从集合和映射的角度出发的。 具体来说，经典的函数概念大致可以分为三个阶段：早期的函数概念（几何函数）； 18世纪的函数概念（代数函数）和19世纪的函数概念（变函数）。
早期的函数概念源于人们对了解日月星辰运动规律的迫切需要，特别是自从哥白尼（Kopernik，1473-1543）基于多年对太阳运动的观察和计算以来 、月球和行星，在1514年5月完成《论天体运动》后，运动成为当时科学家的共同兴趣。 人们开始思考：为什么落在地球上的物体最终会垂直落向地球？ 为什么行星的轨道会移动？ 是椭圆形的吗？ 此外，由于军事需要，人们需要研究弹丸弹丸的路线、射程和高度。 这种运动研究导致了函数概念的原始几何起源。
到了17世纪，伽利略（Galileo，1564-1642）在他的著作《两门新科学》中已经提出了函数或变量关系的概念，但他当时用的是函数与变量之间的关系 比例是用一种离函数概念还很远的语言来表达的。 笛卡尔（Descartes, 1596-1650）在1673年前后的解析几何研究中就已经注意到一个变量影响另一个变量的依存关系，但此时还没有意识到提炼函数的概念。 因此，直到17世纪末牛顿和莱布尼茨创立微积分时，都没有人明确给出函数的一般含义。 当时，函数被看作是一条几何曲线来研究。
是莱布尼茨在1673年首先用“函数”（function）来表示“幂”，才真正明确地给出了函数的概念，后来又用这个词来表示函数的横坐标、纵坐标、切线长度等。 曲线上的点 曲线上点的相关几何量。 可见，函数这个词原本的数学含义是相当模糊的。 同时，牛顿在研究微积分的过程中，用“流”来表示变量之间的关系。
18世纪，函数概念进入代数函数阶段。 当时的主流观点是将函数理解为解析表达式。 瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）在1718年从代数的角度重新定义了莱布尼茨的函数概念：由变量x和常数以任何方式组成的量可以称为x的函数，这里的任何方法包括 代数表达式和先验表达式，这是第一次用表达式来表示函数。
函数符号f(x)最早由瑞士著名数学家欧拉(Euler, 1707 -1783)于1724年提出并使用。然后，在1748年，他在《无限分析导论》一书中将函数定义为 由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式。 这结合了变量和常量及其加、减、乘、除、幂、平方根和三角、指数、对数等运算形成的公式，统称为函数。 不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·伯努利的更普遍、更广泛。
此外，在1755年，欧拉还给出了另一个定义：如果某些变量依赖于其他变量 某种方式，即当后变量发生变化时，前变量也发生变化，我们称前变量为后变量的函数。
到19世纪，函数概念的发展 已逐步完善，进入可变功能阶段。 1821年，法国数学家柯西（Cauchy，1789-1857）从变量的角度给出了函数的定义：某些变量之间存在一定的关系。 当其中一个变量的值给定后，其他变量的值可以据此确定。 初始变量称为自变量，其他变量称为函数。 值得注意的是，在柯西的函数定义中，首次出现了自变量这个词，但同时他认为一个函数不需要一个解析表达式，或者可以用多个解析表达式来表示，即
1822年，法国数学家傅立叶（Fourier, 1768—1830）发现某些函数可以用曲线、一个公式或多个公式来表示，从而结束了争论 关于函数的概念是否可以用一个独特的公式来表示，他把对函数的理解推向了一个新的高度。 1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）打破了这一局限，认为x和y之间的关系如何建立并不重要，他给出了函数概念的精确表达：对于x的每个值 在一定区间上，y有一个或多个确定值，则称y为x的函数。 这个定义避免了函数定义中依赖关系的描述，特别强调和突出了函数概念的本质——相应的思想，使其具有更丰富的内涵，从而为所有数学家所接受。 这就是人们常说的函数的经典定义。
进入20世纪后，基于德国数学家康托尔（Cantor，1845-1918）创立的集合论，人们对函数有了新的认识 函数的概念 1930年，美国数学家凡勃伦（Veblen，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数的定义。 并且进一步规定了取值范围，打破了“变量是数字”的限制。 变量可以是数字或任何其他对象。
