#头条创作挑战赛#

点对点的方法有两种。 老黄已经介绍了第一种点对点的方法。 下面我们继续分析点对点的方法。

无论是第一次代入积分法还是第二次代入积分法，都是基于如下定理：

定理：（代入积分法）设g(u)为 定义在 [α,β] 上，u=φ(x) 在 [a,b] 上可导，并且 α≤φ(x)≤β, x∈[a,b]，记住 f( x)=g( φ(x))φ'(x), x∈[a,b]。

(第一种置换积分法)若g(u)在[α,β]上有原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也有原函数F( x), F(x)=G(φ(x)) C, 即

∫f(x)dx=∫g(φ(x)) φ’ (x)dx=∫g(u)du=G(u) C=G(φ(x)) C.

(第二种置换积分法)若φ'(x)≠0,x∈[a,b]，则命题1可逆，即f(x)在[a,b上有原函数F( ] 当x),g(u)在[α,β]上也有原函数G(u),且G(u)=F(φ^(-1)(u))C,即

∫g(u)du=∫g(φ(x))φ'(x)dx=∫f(x)dx=F(x) C=F(φ^(-1)(u)) C .

这个定理理解起来相当费解。 我们通常通过实践来理解和掌握它。 这里有一个非常恼人的问题。 即使你了解并掌握了第一种兑换方式，要理解第二种兑换方式还是有难度的。 即使你已经通过实例和习题掌握了第二种改变元素的方法，当你回过头来理解这个定理时，仍然会感到困惑和难以理解。 你知道为什么吗？

其实应用时间和定理中的x和u是可以互换的。 也就是说，如果你把定理中第二种代入法部分的“x”和“u”全部互换，你就应该明白了。 方法老黄已经告诉你了，主要是了解内在的东西，老黄帮不了你。 让我们首先证明定理的第二部分。

证明：若φ'(x)≠0，则x∈[a,b]，则x=φ^(-1)(u)，则dx/du=1/(φ'( x)), 【若内函数的导数不为0，则可推导出其反函数，反函数的导数为原函数导数的倒数】

dF(φ ^(-1)(u))/du=f(x)/(φ′(x))=(g(φ(x))φ′(x))/(φ′(x))=g( φ(x))= g(u).

∴∫g(u)du=∫g(φ(x))φ'(x)dx=∫f(x)dx=F( x) C=F( φ^(-1)(u)) C. [代入u=φ(x)就有这个过程和结果]

不管怎样，最好通过学习 例子更好理解。

例子：求 ∫√(a^2-x^2 )dx (a>0)。

其实是一个积分公式，限制a>0，主要是为了避免负数带来的麻烦，如果a=0，问题的本质就会改变。 通过观察可以发现，在这个根式中，如果可以把底数换成1-(sinx)^2=(cosx)^2，就会简单很多。 去做就对了！

解：设x=asinu，|u|≤π/2，[这个取值范围有两个作用，一个是让x单调，所以会有反函数； 二是保证替换函数x的取值范围是原被积函数的定义域。 你看这里的x和u是不是和定理中的x和u互换了]

那么u=arcsin(x/a),√(a^2-x^2)= acosu,dx =d(asinu)=acosudu。 [完成这些准备工作可以让后面的过程更简单]

原点=a^2*∫(cosu)^2du=a^2 /2*(u sinucosu) C [余弦平方的不定积分 是常用的积分公式，一定要记住，不然手撕起来很麻烦，结果形式会不一样]

=a^2/2*(u sinu√ (1-(sinu)^2)) C【将结果写成只包含正弦不包含余弦的形式，这样代入u关于x的表达式时，就可以直接得到关于x的函数】

=a^2/2*(arcsin(x/a) x/a* √(1-(x/a)^2)) C

=a^2/2 *arcsinx/a x/2 *√(a^2-x^2 ) C.

接下来继续分享一道练习题。 这是一道练习题，当然要自己完成。

练习：求 ∫dx/√(x^2-a^2 ) (a>0)。 【这也是一个积分公式】

解：令x=asect，0<t<π/2，则t=arcsec(x/a)，

√(x ^2-a^2)=atant, dx=d(asect)=asect·tant.

原积分=∫sectdt=ln|sect tant| C1【割线函数的积分公式也要牢记，否则会很困难。 这里使用C1是因为后面的常量中还会有其他部分加入]

=ln|sect √((sect)^2 t-1)| 因为这样代入t的表达式时，可以直接得到关于x的函数]

=ln|x/a √((x/a)^2-1)| C1=ln|x/ a 1/a*√(x^2-a^2 )| C1=ln|x√(x^2-a^2)| C.

最后用到商的对数公式，等于对数差，后面的-lna被合并到C里了。

你学会了吗 ？ 不知道也没关系，继续关注老黄的作品，下面还有几篇关于这方面的内容，都是帮助大家了解这方面知识的作品。