显然，如果我们在曲线的一个点定义切线，我们也可以在平滑曲线的其他点定义切线。 因为每条切线都有一个斜率，所以曲线上的任何一点都有一个对应的斜率。 两个量之间存在对应关系，是什么？ 这就是功能。

函数y=f(x)不是告诉我们：给定一个x，是否有一个y与之对应？ 现在我们给定一个点（假设横坐标为x），有一个斜率dy/dx与之对应。 显然，这也是一个函数，这个函数叫做导数函数，简称导数。

在中学的时候，我们通常会在函数f(x)的右上角加一个撇号来表示这个函数的导数，所以现在两种情况都表示导数：

所以， 导数f'(x)可以表示横坐标为x的地方对应的切线的斜率，表示曲线在该点的倾斜程度。 如果导数f'(x)的值比较大，曲线会比较陡峭，如果f'(x)比较小，曲线会比较平坦。 所以，我们可以用导数来描述曲线的斜率。

这就是我们前面提到的抛物线，它的函数形象是这样的：

求函数的导数就是求函数在每一点的切线的斜率，而切线 是曲线上两条无限小距离的点所确定的直线。

说起来容易。 假设曲线上有一个点的横坐标为x，那么与它的距离为无穷小的点的横坐标为x dx。 由于该点也在曲线f(x)=x²上，所以其纵坐标为(x dx)²，即：

然后，我们用这两个点x的纵坐标上的差值f(x dx)-f(x)除以横坐标上的差值(x dx)-x来计算斜率 点 x 处的切线。 因为这个x是任意取的，得到的结果就是切线在任意一点的斜率，那么这就是导数：

到这里就很简单了，接下来的问题是：上面的dx和下面的dx能排好吗？

我们知道除数不能为0，如果要同时用分子和分母除以一个数，必须保证这个数不为0，现在我们要除以dx ，这个dx就是我们前面定义的无穷小量，它无限接近0但不等于0。

所以，好像我们把它当成一个非零量，直接约化它，那么 导数同时除以dx：

这个公式看起来比较简单，但是还是有一点小问题 tail dx 在它后面。

2x是一个有限数，一个有限数加上一个无穷小的量，结果是什么？ 看起来应该还是等于这个具体的数字。 比如100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001，那就错了。 无穷小必须小于您可以给出的所有数字，因此它必须小于 0.00…001。

所以，我们似乎有足够的理由去掉2x之后的dx，就像去掉一个等于0的数一样，这样最后的导数就可以简单的写成如下：

p>

看这个导数，当x越来越大（x>0）时，f(x)’ 价值也在增加。 导数用来表示函数的斜率，也就是说，当x变大时，曲线变得越来越陡峭，这和图像完全一样。

所以，丢掉一个（非零）dx，然后丢掉一个（等于零）dx得到的导数f(x)’=2x其实是正确的。

但是这个逻辑很奇怪：无穷小的dx趋近0是不是无穷0？ 如果是0，为什么分子和分母可以同时被它除； 如果不为0，为什么可以随意丢弃呢？

总不能同时等于0和不等于0吧？ 你不是薛定谔房子的无穷小。

数学又不是魔术，怎么可以这么随便？ 结果，这个无穷小的数量招来了很多批评。 为什么说“又”？ 因为之前讲积分的时候说过一次，这里就比较明显了，看到二次数学危机，兵不血刃~