微分几何是现代数学和物理学的一个重要分支，研究具有曲率和弯曲性质的几何结构。 黎曼度量和里奇张量是微分几何中的两个基本概念，为描述和分析曲面和流形上的几何性质提供了基本工具。
把一个橙子对半切开，挖出果肉，把剩下的半球形橙皮尽量压扁，会把橙皮撕裂。 如果你想弄平一个马鞍或一块浸泡过的薯片，这次你遇到了相反的问题。 表面的一部分是“额外的”，当它被压平时会折叠起来，但是，如果你有一卷墙纸并且也想压平它，这次没有困难（只需将墙纸展开）。 像球面这样的曲面称为正曲面，马鞍形的曲面称为负曲面，而一张墙纸则称为平面。
有很多方法可以细化和量化上面提到的曲率概念，这样表面的每个点都有一个数字，代表表面在该点的“弯曲程度”。 为此，表面需要有一个定义路径长度的黎曼度量。
黎曼度量
黎曼度量（Riemannian metric）是微分几何中的一个基本概念，它赋予切空间上的向量长度和角度的概念，使得在流形（流形）的几何上， 可以测量距离和角度。
直观上，流形可以被认为是在每个点附近看起来像欧几里得空间的空间。 换句话说，尽管流形在大尺度上可能具有复杂的形状，但在局部尺度上我们可以用欧几里得空间来近似它。 这种与欧几里德空间局部相似的性质使流形成为研究各种几何和拓扑问题的理想对象。
歧管可以有不同的尺寸。 例如，一维流形可以是曲线，二维流形可以是曲面，更高维的流形可以表示更复杂的空间结构。 根据流形的光滑性质，流形可以分为不同的类型，如可微流形（具有连续导数的流形）、光滑流形（具有无限连续导数的流形）等。
使用切空间 描述流形上某个点附近的局部线性近似。 简单来说，切空间可以看作是在流形上某一点切割流形的线性空间，这为我们研究流形的局部特性提供了数学工具。
给定一个n维可微流形M及其上的一个点p，切空间T_pM是一个n维向量空间，包含从p开始的所有切向量。 这些切向量是 p 的可微曲线在该点的导数，它们描述了 p 周围流形的局部线性结构。 通过切空间，我们可以研究流形上函数的导数和积分等数学运算。
在欧几里德空间中，切空间可以用平面或高维平面的概念来直观理解。 例如，在二维曲面上的某一点，切空间就是与该点刚好相切的平面； 而在三维曲面上的某一点，切空间就是与该点刚好相切的二维平面。
给定一个 n 维可微流形 M，黎曼度量是一个双线性对称正定函数，它将切线空间中的两个向量映射到实数。 更具体地说，黎曼度量g是将M上每个点p的切空间T_pM中的两个向量u和v映射为实数的函数，满足以下性质：
- > li data-track=”37″>双线性：g(au bv, w) = a g(u, w) b g(v, w)，其中a和b是标量，u、v和w是切线空间中的向量 .
- 对称性：g(u, v) = g(v, u) 对于切线空间中的所有向量 u 和 v。
- 正定性：对于切线空间中的所有非零向量 u，g(u, u) > 0。
利用黎曼度量，我们可以在流形上定义长度、角度、体积等概念，从而将几何分析的方法应用到微分几何中。 此外，黎曼度量在爱因斯坦的广义相对论中发挥着关键作用，在该理论中，引力效应被解释为由于质量的存在而导致的时空曲率。
Rich tensor
曲率的概念也可以推广到高维的情况，这样我们就可以讨论d维黎曼流形上某一点的曲率。 但是，当维数大于2时，流形在一点处的弯曲方式更加复杂，不再用数字来表示，而是用Ridge张量来表示。
里奇张量（Ricci tensor）是描述黎曼流形局部曲率性质的二阶对称张量。 它是黎曼曲率张量的收缩，捕捉所有方向曲率的平均值。
给定一个 n 维黎曼流形 (M, g)，其中 g 是度量张量。 黎曼曲率张量R是一个四阶张量，可以表示为R^i_jkl。 岭张量 R_ij 是由黎曼曲率张量 R^i_jkl 求和并消去第一个和最后一个索引得到的二阶张量：
R_ij = R^k_ikj
R_ij = R^k_ikj
富张量是对称的，即R_ij = R_ji。 它描述了流形上不同方向的平均曲率，从而反映了流形的局部几何形状。 在特殊情况下，如果流形上的岭张量在所有点处都为零，则流形被称为“Rich flat”。
