黎曼-罗巴切夫斯基几何：平行公理的疑惑

先做一点准备工作。

测量的概念是如何产生的？

笛卡尔在欧氏空间建立了直角坐标系，并创立了解析几何，使得（平面直角坐标系 例如）在空间点的坐标和有序对（x，y）之间建立一对一的对应关系。 那么，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以通过以下代数表达式计算：

这也称为欧几里德度量。 如何具体计算度量（距离）在很大程度上决定了空间的性质。 由上式不难发现测度（距离）应满足的三个基本性质：

1）非负性：距离总是涉及两点，距离的大小为 总是一个非负实数：

2）对称性：即A点到B点的距离等于B点到A点的距离：

3）满足三角不等式：任意两边之和 三角形的边长不小于前三边。

距离的上述定义称为欧几里德度量。 如果去掉欧氏空间的背景，距离的概念就升华为抽象的度量概念。

在集合的语言中，指标定义如下。

令d为定义在集合X上的二元函数，满足：

①函数值为非负实数，

即： d(x₁, x₂)≥0，只有当x₁=x₂时等号才成立；

②满足对称性，即：d(x₁, x₂)=d(x₂, x₁);

②满足对称性 p>

p>③ 满足三角不等式：

d(x₁, x₂)+d(x₂, x₃)≥d(x₁, x₃)。

那么，d 称为集合 X 上的测度。d 称为度量函数，或距离函数。 x₁、x₂、x₃ 是集合 X 的任意三个元素。

集合没有任何结构。 一旦在集合上定义了某种结构，它就成为数学研究的对象。 度量函数 d 定义集合上的度量结构。 定义了一组度量，表示为 (X, d)，称为度量空间。 如果d是欧氏（Euclidean）度量，那么（X，d）就是欧氏空间，即平面几何所在的空间。 不过，这里的欧几里得空间并不局限于我们熟悉的三维空间，而是更一般的n维欧几里得空间。 对于不同的度量函数，所定义的度量空间的性质当然会有所不同。

说到品类科学，度量的概念进一步升级为常态。 随着数学的深入，形象思维的空间会越来越小。 空间是什么样子，只能通过空间的基本属性来把握，而不是靠想象。

欧氏平行公理

通过已知直线外的一点，与已知直线平行的直线只有一条。

这个公理直观易懂。 然而，历史上许多数学家不断质疑这个平行公理。 也许你不明白，有什么好质疑的？

回顾直线的三要素：连续、一维维度、最短长度。 线的定义不涉及任何“表面或平面”的背景。 抹掉这个平面的背景，你脑海中那条非常具体生动的直线就失去了存在的基础。 因此，只有抽象思维的空间。

这样，根据二元逻辑定律，既然存在平行线存在的情况，那么从逻辑上来说，不能拒绝不存在平行线的情况。

同样，根据二元逻辑的规律，在平行线的前提下，既然平行线有唯一情况，就可以有非唯一情况。

往前看，既然可以定义一个度量空间，从而用一个度量来研究几何； 那么在不定义度量的情况下研究非度量空间的几何就不足为奇了。

几何的分类

现在，根据二元逻辑的规律，几何的分类就不难理解了。

爱因斯坦广义相对论的数学基础是黎曼几何。 所谓时空曲率是黎曼几何应用到物理领域的结果。 最早出来的黎曼几何，是黎曼求职时的演讲《论假设作为几何的基础》。 观众当然都是大佬。 他们报以热烈的掌声，热烈的鼓掌是因为一点都不懂。

罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何学，又称双曲几何学。 它在天体理论中有广泛的应用。 罗巴切夫斯基开创了非欧几何学。 作为雷行者，他遭到了欧洲学术界的疯狂反对。 就连高斯也惧怕当时的气氛，只在私底下对罗巴切夫斯基的作品给予高度评价，而从不在公开场合。

拓扑是非度量空间的几何学。 在这个空间里，没有长度和角度等概念。 它主要研究几何元素之间的关联或组合关系。 研究的连续性是其中的重要组成部分。 留心的话，欧氏空间的很多定理其实都是拓扑定理。

最后还有一类几何叫做分形几何，它揭示了一个奇妙的世界。 超对称和无限重复是分形几何学的主题。