每个可以表示为4n 1 形式的素数，只能表示为两个数的平方和的形式。

十七世纪伟大的法国数学家费马（1601-1665）在 1660 年左右发现了这个著名的定义

原因。 然而，它直到 1670 年才以由费马的儿子编辑的丢番图脚注的形式出版，遗憾的是没有证据。 不确定费马是否证明了这一点。

直到大约一百年后，这个定理的证明才由欧拉首先发表。 马氏定理的证明，4n 1 形式的素数可以表示为两个数的平方和”

现在有几个费马-欧拉定理的证明。 下面的证明是最简化的。

对于不熟悉数论的读者，我们将提供一些说明，这些说明对于理解这个证明是必要的，并且对于问题 22 中讨论的问题也很有用。还必须记住字母 此处和问题 22 中使用的表示整数。

两个数a和b【参考高斯（Gauss）著作】，当差能被m整除时，称同余于模m，写作：a ≡ b mod m，读作模m , a 和 b 是一致的。 例如，每个数全等于模数（modulus）m及其除以m所得到的余数，例如65 ≡ 2 mod 7。余数一词具有更广泛的含义，是指除以任意选择的商后的余数 . 例如，如果您写 65 /7=12，您将得到 –19 的余数。

在众多可能的余数中，有两个尤为重要：一个是商定余数或共同余数，为正但

小于除数； 一个是最小余数，另一个的绝对值不大于除数的一半。 例如，89/13 的最小余数为 –2。 由于 89/13=7-2/13，这也可以写成 89 ≡ –2 mod 13。

对于相同模数的同余，可以应用以下不言而喻的规则：< /p

1. 如果两个数与第三个数全等，则这两个数也彼此全等 Remain。

2. 两个全等表达式可以相加、相减和相乘。

由

A ≡ B mod m, a ≡ b mod m

得到

A ± a ≡ B ± b mod m

和

Aa ≡ Bb mod m。

（例如 A = B Gm 和 a = b gm 可以得到Aa = Bb pm （p 为整数 ) ，即 Aa ≡ Bb modm。）

3. 全等公式 a ≡ b mod m 可以乘以任意整数 g：

ag ≡bgmod m。

只有当g 是a 和b 和g 的公约数时， 模 m 只能被 g 整除，当没有公约数时。 例如，49 ≡ 14 mod 5 除以 7，得到正确的同余 7 ≡ 2 mod 5。

如果 m 的数系中没有两个数 正整数同余于模m，则数系称为模m的完备残差系。 最简单的完全残差系统是 m 个普通余数 0, 1, 2, …, m – 1 的系统，下一个最简单的是 m 系统的最小余数em>。

对于模数m，每个z 和完整残差系统中的一个数模m 且仅当一个数 全等。

下面的定理尤为重要：

定理：如果用一个与模数没有公约数的数相乘完备残差系的数，则另一个完备的 残留系统。

证明：设模数为m，a 是一个与m 没有公约数的乘数。 那么如果对于给定的残差系统由两个不相等的数x 和x‘组成，

ax ≡ ax′ mod m

成立，则根据同余规则3，必有x≡x em>′ mod m，这是不可能的。 从这个定理可以直接得出：

a 和m 同余式时没有公约数

ax ≡ b mod m

在每个完整的残差系统modm中，只有一个“根” x。

二次留数

有两个数没有公约数，如果其中一个数与某个平方数同余，另一个数为模，则这个 一个数称为另一个数的二次留数。 如果不存在这样的平方数，则称为二次无余数。 例如，12 是 13 的二次

余数，因为 12 ≡ 8^2 mod 13； –1 是 3 的二次非留数，因为没有平方数 x^ 2，x^2 ≡ –1 mod 3。

以下是应用于奇素数模 p 的相关二次余数定理：

1。 如前所述，两个数的平方是全等的，例如，

和 y 来自 1, 2, 3, …, p – 1 在Σ系统中，选择满足(0)。 对于Σ系统中的每个x，只有一个唯一的共轭数y，（由xy ≡D mod p 和 xy′ ≡ D mod p get

xy ≡ xy′ mod p,

从这个或 y ≡ y′ mod p

y – y′ ≡ 0 mod p 。

但是，由于 y 和 y′ 都小于或等于 p – 1 , 所以只有当 y = y′ 时，两者之间的差异才能被 p 整除。）Σ x1，根据

x1y1 ≡ D mod p

确定y1，然后我们从Σ中选择不等于x1 和 y1 中的 x2 使得

x2y2 ≡ D mod p

求y2，则y2不等于 x1 或 y1。

用这种方法不断运算，直到Σ中的所有数都列在得到的同余公式中。