在复数领域，有欧拉公式，是欧拉在研究虚数时自己发现的。

假设x为复数，则有如下公式，欧拉公式：

如果把π带入欧拉公式，就会有：

看到这个公式很简单，但是把欧拉数e，pi，虚数i，第一个数1，和 0，加上乘法、加法、幂运算，是不是很神奇？

我在中学的时候还没有找到可行的欧拉公式的证明方法。 如果你学过微积分，这里有一个证明。 令复数z=cosθ为inθ，并在复变量范围内积分：

因此，欧拉公式得证。

如果学过级数，还有一种方法可以证明，就是将sinx和cosx展开成级数：

引入z=cosx isinx，

欧拉公式 几何上解释为单位圆在复平面上的点数变化。 也就是说，任意复数x都可以对应单位圆的旋转角度ψ。

任意复数a bi（a，b为实数，i为虚数）都可以写成r，这给复数运算即乘除运算带来了极大的方便， 其中可以加减参数，模乘和除法。

欧拉公式可以将实数领域的求幂推广到复数领域。 读者可以证明：

由欧拉公式很容易推导出：

所以不难得到如下公式：

不可能为 cosx=2 在实数领域。 如果x是复数，用上面的公式：

即对于任意整数k，

最后用欧拉公式证明三角形和的公式和 乘积差异

因为：

所以有：

从而证明：