黎曼

黎曼和庞加莱之间也有很多相似之处。

他们都是直觉主义的典型代表。 对于严格的证明，它们似乎都很弱。 不用说，黎曼，庞加莱经常写了一篇论文，然后把它扔到一边，甚至不知道他为什么要写它。

在成就方面：

几何思维非常强大。 黎曼流形几何和庞加莱拓扑都是几何史上空前的创造，无人能及。

在分析方面，黎曼在复分析和实分析方面的综合成就，足以争得分析史上的第一人。 而庞加莱在自守函数方面的伟大成就，也是微分方程史上最强的大师。 在分析方面的巨大成就也使庞加莱成为19世纪20年代之交的数学领袖。

在代数方面，黎曼庞加莱的成就比较薄弱，黎曼在直接代数方面简直是一片空白。 黎曼虽然对现代代数产生了深远的影响，但毕竟只是间接的。

但在数论上，黎曼比庞加莱强多了。

但是物理上，庞加莱至少比黎曼好三四档，哈哈哈。

在数学教育方面：或许是因为两人的智商高吧。 现代数学虽然在某种意义上是黎曼庞加莱的追随者，但他们都没有直接对他们进行教育。 好学生。

在竞争对手方面，黎曼常与魏尔斯特拉斯相提并论，而庞加莱则与希尔伯特相对。 与黎曼·庞加莱几何思维的直觉主义相反，维尔斯特拉斯·希尔伯特是代数思维公理化算术的典型代表。

黎曼和庞加莱被普遍认为是现代数学界最具影响力的两位人物。 两者之间的许多相似之处令人着迷。 天才各不相同，却又如此相似。

Poincaré

再来考察一下Poincaré和Riemann的比较，很有意思 也就是说在数学上，庞加莱在很多方面几乎就是黎曼的升级版。

1. 拓扑学：庞加莱在一般流形和复形上建立了拓扑学，从而完全超越了黎曼原有的拓扑学基础工作，成为现代拓扑学的真正奠基人；

2． 在流形理论方面：庞加莱首先定义了流形的概念，比黎曼最初未定义的流形概念更进了一步，深化了黎曼的工作，进一步将流形理论推向了数学的中心。

3. 关于复变函数：庞加莱加强了黎曼单复变函数理论的工作，将黎曼面（一维复流形）推广到高维复流形，创立了多复变函数理论。

4. 在黎曼曲面理论中：庞加莱将黎曼映射定理推广到黎曼曲面，建立奇异化定理，超越黎曼成为数学的中心。

5. 在代数几何方面：庞加莱将黎曼在代数曲线（黎曼曲面）方面的工作进一步扩展到代数曲面，加强了黎曼在代数几何方面的工作，同时也为代数几何做出了重大贡献。

6. 关于自守函数和微分方程： 黎曼超几何级数研究创立的常微分方程奇点理论是庞加莱自守函数和微分方程定性理论两大成就的重要基础 一、庞加莱超越黎曼！

令人惊讶的是，哈哈哈，在数学上，在很多方面，庞加莱可以说是黎曼的加强版。

虽然庞加莱很少阅读其他数学家的著作，但从庞加莱大量个人数学生涯中最重要、最伟大的成就可以明显看出，黎曼数学对庞加莱的直接而深刻的影响。 这就是数学的起源和继承。

庞加莱和克莱因都可以算是黎曼的学术继承人。 克莱因直接为哥廷根大学教授，在泛函论方面全面继承了黎曼的学术遗产，而庞加莱则通过意大利学派间接继承了黎曼的学术遗产，并进行了全面深入的发展和推广。

从某种意义上说，庞加莱，至少在很多数学领域，是黎曼2.0！

从历史的角度来看，庞加莱在纯数学成就上还是弱于黎曼。 庞加莱虽然有拓扑学，但无论几何、分析、数论，庞加莱都不如黎曼全面。 只有代数庞加莱强于黎曼，但这是建立在黎曼的直接代数成就为0的前提下，庞加莱的代数在分析和几何拓扑方面远不如他的工作。

毕竟是黎曼开的。 黎曼之后的数学家，包括庞加莱在内，他们的大部分成果都是在黎曼创建的框架下取得的。 莱无法超越它。

但论系统性、系统性、难度、全面性、丰富性、成果数量，庞加莱在数学上优于黎曼。

更何况，庞加莱在物理学、狭义相对论、天体三体问题、混沌理论等一系列开创性的成就，数理综合，这是直追亚历克斯爵士的存在 ，这是黎曼无法比拟的。