#头条创作挑战赛#

老黄之前探索过一个e的ax次方相关的不定积分公式到三角函数相关的不定积分公式。

求∫x^n*cosaxdx, n∈N*, a≠0。

被积函数由两部分组成，前面是幂函数，后面 exponent 是一个正整数，后面是ax 的余弦函数。 a不等于0。这个公式的推导比上一个要难一些。

解：写成In(k)=∫x^n*cos(ax kπ/2)dx。【这是一个关于k的不定积分函数族。 不同的n有不同的不定积分，不同的k也会有不同的不定积分。 原来不定积分中的ax变为ax kπ/2的形式。 为什么会有这样的设计，看完你就明白了。 】

In(0)=∫x^n*cosaxdx=1/a*∫x^ndsinax【当k=0时，得到原不定积分】

=1/a*x^n*sinax-1/a*∫sinaxdx^n【分部积分公式的应用】

=1/a*x^n*sinax n/a *∫x^(n-1)*cos(ax π/2)dx【以这种形式，可以得到递推公式。 现在你知道老黄为什么要在前面引入ax kπ/2了吧】

=1/a*x^n*sinax n/a*I_(n-1)(1)

[同理有I_(n-1)(1)=1/a* x^(n-1)*sin(ax π/2) (n-1)/a*I_(n-2 )(2)代入上式]

= 1/a*x ^n*sinax n/a*(1/a*x^(n-1)*sin(ax π/ 2) (n-1)/a*I_(n-2)(2))

= 1/a*x^n*sinax n/a^2*x^(n-1) sin(ax π/2) (n(n-1))/a^2*I_(n- 2)(2)

= …=∑(i=0->n)n! /((n-i)!a^(i 1))*x^(n-i)*sin(ax iπ /2) C.

这个公式非常难读懂，但是不 不管怎样，老黄下面有一张图给大家展示推导过程的全貌，并且有例子和习题来演示公式的使用。

让我们看一个应用程序，同时检查它的正确性。

示例：查找 ∫x^3cos3xdx。 [n=a=3，直接代入公式]

解：原积分=∑(i=0->3)3!/((3-i)!*a^(i 1 ))*x^(3-i)*sin(ax iπ/ 2) C 【其实可以这样回答】

=1/3*x^3*sin3x 1/3* x^2*sin(3x π/2) 2/9*x* sin(3x π) 2/27*sin(3x 3π/2) C

=1/3*x^3sin3x 1 /3*x^2*cos3x-2/9*xsin3x-2/ 27*cos3x C.【利用三角归纳公式，统一各项的形式】

练习：求∫x^5 *cos(x/3)dx.【n=5，a=1 /3，直接代入公式】

解：原积分=∑(i=0->5)5!/ ((5-i)!*a^(i 1))*x^( 5-i)*sin(ax iπ/2) C

=3x^5*sin(x/3) 45x^4*cos(x/3)-540x^3*sin(x/ 3)-4860x^2*cos(x/3) 29160xsin(x/3) 87480cos(x/3) C.

结果老黄查过了，没错。 老黄不知道高数有没有这种公式，反正老黄没见过。 给这个公式一个名字。 老黄称之为“三角积分大公式”。 因为下面老黄还要继续鼓捣。 老黄觉得这个公式太实用了。